2024東大【理系数学】解答速報

2024年3月12日2024年3月20日

2024東京大学の理系数学の解答速報をお届けします！

めぐろ塾の安田

文系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

第１問

問題

考え方

めぐろ塾の安田

東大が大好きな、「空間の２ベクトルのなす角の処理」です。文理問わず良く出題されています。

点Ｐは \(xy\) 平面上なので、Ｐ\((x\:,\:y\:,\:0)\) とおく
↓
\(\cos∠\textrm{AOP}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{\textrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OP}}}{\left|\overrightarrow{\textrm{OA}}\right|\left|\overrightarrow{\textrm{OP}}\right|}\) で \(x\:,\:y\) の式を導く
↓
∠ＯＡＰも同様

で、機械的に式で処理していくだけ。この場合で２乗するときのお決まり、

２乗する際に、　ルート自体≧０　も確実に確認する

ようにしましょう。本問では結果には影響を及ぼしませんが、過去の出題からすると減点ポイントになっているものと思われます。

めぐろ塾の安田

個人的に鬼門に思えるのは、\(0≦\theta≦\pi\) で \(\cos\theta\) が単調減少であることの失念です。

角度条件にcosをつけるとき、不等号の向きを逆にしなければなりません！ま～でもこれで領域判定ミスっても、６～７割の点数は入るでしょう。展開計算でミスって最初双曲線が出てきた僕よりはマシです(笑)境界線は確実に当ててください。

解答

第２問

問題

考え方

\(0≦t≦x\) と \(x＜t≦1\) で場合分けして絶対値を外す
↓
\(f(x)\) が積分計算なしで微分できる形になる
↓
微分すると、\(f'(x)\) が \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2+a^2}\) の形
↓
\(t=\tan\theta\) で置換（アークタンジェント系）すれば、\(\alpha\) を用いて \(f'(x)\) が計算可
↓
\(f(x)\) の増減表が作れる

という典型的なストーリーで、丁寧な誘導もついています。

めぐろ塾の安田

東大はアークタンジェント系の積分が大好きなので、本校受験者であれば十分に対策しているでしょう。

計算は楽ではありませんが、今年のセットで言うとほぼ完答はマストな問題だと思います。

解答

第３問

問題

考え方

めぐろ塾の安田

やっと東大に「ｎ回試行の確率」が戻ってきたぁああああああああああああああああああああああああああああー！

と喜びました。去年の第２問の確率は小学生知識でもできる問題でしたが、計算ミスりやすい、途中点もらいにくそうってことでイヤだったんで。2016以来の典型出題です。

しかし…

めぐろ塾の安田

全く解きやすくはない(笑)

「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針２＞「確率漸化式」なのは明らかで、(2)までは難なく解答できるでしょう。

問題は(3)です。(2)で状況が４つしかないことが分かり、(2)で考えてない２点（解答で \(c_n\) と確率をおいている２点）から遡った漸化式さえ立てれば、(2)から立式できる漸化式との２本で上手く解けることを期待していたんですが…

めぐろ塾の安田

４本全ての漸化式が必要、かつ漸化式を組み合わせて２項ズレの漸化式を立てないとダメ…

も～イライラを越えて悟りの境地に入った僕は、\(a_n\:,\:b_n\:,\:c_n\) の立式を全てしっかりと打ち込みましたが、「以下同様に」ってして省いていいと思います。最終的に連立漸化式を解けなくても、

状況が４つしかない　→　漸化式をいくつか立てる

ってところまで記述できてれば及第点でしょう。

解答

第４問

問題

考え方

めぐろ塾の安田

昨年の第３問と良く似たシステムの問題です。

円と放物線が共通の接線を持つ
↓
「法線が中心を通る」と「接点と中心の距離が半径」で処理
↓
\((3\:,\:a)\) の通過条件から、定数分離法で４次関数のグラフと \(y=a^2\) の共有点

と考えます。「円と放物線」、「最終的に４次関数のグラフ」ってとこが去年と全く一緒。ただ、去年の問題よりはかなりカンタンです。文章的な意味の不明さも、三角関数やルートが絡むところもないので。

めぐろ塾の安田

でも…流石東大…去年に比べればマシですが、計算はかなりメンドウです。

(1)の結果が因数分解でき、最初これで解答打ってたんですが、あんま共通因数見つけられなかったので展開する方向に直しました。もしかしたら \(g'(t)\) の計算まで \(c(t)\) と \(r(t)\) のまま進めれば、積や合成関数の微分法で共通因数が出るかもしれません。でも…僕は試験時間内でそこまで冒険する気は起きないので…めぐろ塾としてはもうこの解答でいいです(笑)

４次関数の増減表を作成できても、極値計算が大分大変。ストーリーは読みやすいので、定数分離法で \(y=g(t)\) と \(y=a^2\) の共有点で考えるところまでは確実に記述しましょう。ここまで記述できてれば、前後の計算でミスってても及第点。