2023東大【理系数学】解答速報

2023東京大学の理系数学の解答速報をお届け！

でも京大と同様、プロ講師は毎年の東大の理系数学は解かないといけないってゆ～法律があるので(笑)

我ながら、凡人が試験時間内で書きうるベスト解答を作成させて頂いたと自負しております！

第１問

問題

考え方

東大受ける人なら見た目から、

って思っときましょう。(2)で使います。

後は積分区間から分母を評価して、その不等式の全辺にインテグラルをくっつければいいって有名内容です。

両サイドの積分計算では、「一山・一谷分でsinの符号は一定」ってことから、\(\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|dt=\left|\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\sin tdt\right|\) というように、絶対値をインテグラルの外にだすってゆー処理が必要ですが…

(2)は(1)の不等式の全辺にシグマをくっつけて、両サイドを区分求積法で計算します。

見た目ムズそ～な問題ですが、有名処理ばっかりで計算量も多くないので、今年のセットだとこれを外すと厳しいです。

ってことを、過去問対策を行って知っている人が有利でしょう。

解答

第２問

問題

考え方

2012～2016まではこればっかりだったんで対策しやすかったんですが。

＜方針１＞　ｎ回の過程を具体的に考える　→　シグマを使うことが多い

＜方針２＞　確率漸化式

ってゆー２つの解法しかないので。

「条件付き確率」であることを除けば、

• 「隣り合う」は「カタマリ」にする
• 「隣り合わない」は「隙間と両端」に入れる
• 「確率」では「場合の数」とは異なり、同じものを区別する（上記２つの処理は「場合の数」の問題として頻出なので）

とゆー、中学校受験の知識でも解ける問題ですが…

因みに他の「解答速報」さんでは、君たちへの説明の意味を込めて大量の記述をしていましたが、実際の試験では解答用紙にそんなに書いてるスペースもなく、採点者にも好まれません。

例えば(2)の(Ⅱ)の場合分けの分子の式を詳しく説明すると、

白玉５個を並べて５！、黒玉２個のカタマリを作ってカタマリ内の並べ方を考えると \({}_3P_2\) 、白玉の隙間と両端に黒玉２個のカタマリと残りの黒玉１個を並べるので \({}_6P_2\)

黒玉２個の間に入れる赤玉を選ぶので \({}_4C_1\) 、これ以外の白玉と黒玉の隙間と両端の８つに残りの赤玉３個を並べるので \({}_8P_3\)

ですが…

因みに解答中の最後の \(q\) の計算過程は残さなくて良いでしょう。ソフトで打ち込みながら計算してたんで、一応残しておきました(笑)

解答

第３問

問題

考え方

東大受けるなら、上位校では頻出の「放物線の軸上に中心が乗る円や楕円との共有点の問題」の経験はあるでしょう。

接する場合を考えて、円の中心をそれより上にするだけ！接する場合の \(a\) の確定は、解答のように法線で処理するのが一番楽です。

文章が意味不明っぽく見えるのは東大の特徴です。取りあえず弦の長さ \(L_{\textrm{P}}\) を立式しましょう。変数を角度にするのは明白です。ひたすら…

円の接線を立式
↓
\(y=x^2\) と連立した方程式の解を \(\alpha\:,\:\beta\) とおく
↓
弦の長さを \(\alpha\:,\:\beta\) で表して解と係数の関係を利用

ってゆーチョー有名内容を進めるだけですが…

正しく計算を終了できれば、\(\displaystyle\frac{1}{\cos\theta}\) の置き換えに気づけ、意味不明な文章をルートの中の４次関数の極値の存在と考えれば良いことが分かります。

そしたら \(L_{\textrm{P}}\) の式だけ見るつもりが…その後の「４次」とか「極値」って単語も目に入っちゃったんですよね…

カンニングするつもりないとこまでカンニングしちまって…

最後まで解き切るのは厳しい問題なので、解と係数の関係を利用するとこまでの部分点を獲得しましょう、それ以前で計算ミスっててもある程度の点数はもらえるはずです。

もし \(\displaystyle\frac{1}{\cos\theta}=t\) の置き換えにまで気づけたら、「\(t\) と \(\theta\) の個数は１：１に対応」という文章は必ず書きましょう。

解答

第４問

問題

考え方

(1)は \(\textrm{P}\:(x\:,\:y\:,\:z)\) っておいて内積計算３つから連立方程式を解く。

(2)は \(\overrightarrow{\textrm{OH}}=(1-t)\overrightarrow{\textrm{OA}}+t\overrightarrow{\textrm{OB}}\) っておいて、\(\overrightarrow{\textrm{PH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AB}}=0\) から \(t\) を確定。

空間座標の問題に慣れている人であれば、

って思うはずです。まさにこれはヒントで、

ＡＨ：ＨＢが求まったことに注目しなさいよ～
↓
ベクトル的な簡易作図で解けるようにしてあげてるよ～

ってゆー作問者側からのメッセージなんですよね。これに気づいて冷静に情報を整理すると、解答のような図が描けます。

因みに、球の半径の最小を求める際、Ｑから辺ＯＨへ垂線を下ろせることを確認しないといけないので、

「三垂線の定理」なんて大学受験じゃあんま使わないんで、ググらなくていいですよ(笑)

ってか解答の最初の空間図さえある程度描ければ、「辺ＯＨ上が一番近そうじゃね？」ってことで計算でゴリ押せます。

解答

第５問

問題

考え方

「積の余り＝余りの積（の余り）」なんて合同式で公式化しちゃいますからね。これの証明は、

余りが等しい　→　差が倍数

で行う、ってことを理解しているかを聞いてくるってゆー、何とも東大らしい問題です(笑)「整数」じゃなくて「整式」なんで合同式は使えない（厳密には「大学受験では使っちゃまずい」）から。

因みに、差の因数分解では以前の記事で紹介した有名因数分解公式を使っていますが…全部打ち込むのがダルかったんで「……」で省略しちゃいました(笑)すいませんm(_ _)m

冷静に \(g(x)=h(x)^7\) を当てはめてください、僕は何かミスりました…生きててすいませんm(_ _)m

その後は、

• 商と余りを設定して、恒等式を立式
• \(f(x)\) を０にするように数値代入法
• \(f(x)\) が２乗を因数に持つので、微分した式にも数値代入

とゆー有名処理ですが…何か場合分けの(Ⅱ)で、\(1+a+b=0\) が不適って気づけずミスりました…

解答

第６問

問題

考え方

素晴らしいですね、東大の作問は。毎年毎年受験者が既視感を覚えない問題を作ってくるヤル気が素晴らしい(笑)

しかし…受験者でこれ完答した化け物いるんですかね…(笑)

問題を嚙み砕くと、

(1)は、フタのない立方体の箱の真ん中を端とする棒の通過領域の体積

(2)は、その棒を折り曲げてもいいとした場合の通過領域の体積

僕は(1)の段階で \(V\) の \(y=t\) での断面を考えてたんですよね。ほんでそれを \(0≦t≦1\) で定積分して２倍、自信満々で他の「解答速報」さんと答え合わせをしてみたら…

でメンタルをやられる(笑)

悔しくて、この断面積も求めて強引に計算しようとも思いましたが、メンドすぎて断念しました。

ほんで、他の「解答速報」さんの有難い解答で理解させて頂いた解答を打ち込ませて頂きました…生きててすいませんm(_ _ )m

因みに、解答中の点Ｐは \(y=t\) 上で、\(xy\) 平面で見るとＯ、Ｎ、Ｐは同一直線上です。この部分は結構混乱させて頂きました(笑)解いた後にいろいろ検討してみましたが、論述の必要はないかと思います。

また、球の中心から \(t\) 離れた断面の円の半径が \(\sqrt{r^2-t^2}\) であることは、上位校受ける人からすればほぼ公式なので、その論証は省いています。

解答

講評

全部打ち込み終わって他の「解答速報」さんの難易度見たら…「変化なし」になってて…

って思って去年の問題見返したら…

例年はもっと解きやすいですよ、来年受ける人はメンタルをやられないように(笑)

今年のセットだと、　第１問完答で20点　＋　第２・５問ちょいミスで約30点　＋　第３問(1)で約5点　＋　第４問(1)(2)で約7点　＝　約62点／120点　くらいを確保するのはマスト！

残りでどれくらい上積みできるかの勝負になると思います。

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！