2024千葉大【理系数学】解説・解答・講評

2024千葉大学の理系数学の解説・解答・講評をお届けします！

千葉大の数学の特殊性

↑でもお話ししているんですが…

千葉大の数学の入試では、
文系数学と理系数学が同じ冊子で配られる！

理系数学では、学部・学科によって解く大問が変わる！

ことになるので、理系の人は解く大問を間違えないように気を付けましょう！

2024では以下の通りです。

本記事では理系数学を対象とするので、大問４～９の解説・解答・講評となります。

教育学部（中学校コース数学科教育分野）を受験する人は、大問３については文系数学の記事をご覧ください。

４

問題

考え方

(1)は部分積分を２回使うだけ。解答では「０～ \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)」をたくさん書かないで済むように、不定積分を計算してから代入していますが、答あたってればど～でもいいです(笑)でも、計算ミスったときのために、「部分積分法を２回用いると、」とかは書いておいた方がいいと思います。

(2)は図とか描いちゃダメ！ただの複素数平面での \(±\displaystyle\frac{\pi}{3}\) 回転なので、回転中心を一番カンタンな \(\textrm{Q}(-1)\) にして、極形式での掛け算で片付けましょう。

最初の段階で、

与等式から \(_{q}\textrm{C}_1>0\) を削除すれば、\({}_p\textrm{C}_2=n\)
↓
\({}_m\textrm{C}_2≦n\) を満たす最大の \(m\) は \(p\) っぽい

って気づいておかないと、お話になりません。そして、

• 論証に \(p>q\) と与等式からの、範囲の「絞り込み」が必要
• \(x(x+1)\) の増加を断らないとダメ
• 最大値の定義に則り、等号の成立を断らないとダメ

なので、完答できた人は少なそう。上記３つには全て部分点が配置されていると思いますが、下２つとかが微妙でも、答が当たってれば大成功な問題でしょう。

解説

５

問題

考え方

(1)は、

なんですが…

「\(k\) が０以上の整数」としか言われていない
↓
(Ⅰ) 面積０　or　(Ⅱ) 面積発生　or　(Ⅲ) そんな面積作れないよ
での場合分けが必要

です…正直(Ⅲ)は失念しちゃっても(2)はいけるんですが、(Ⅰ)は(2)に影響してしまうので、ここだけは気づきたい。

(2)は、(1)の結果の利用を考えれば、\(n\) の偶・奇で場合分けすることには気づけるでしょう。

収束するに決まってる（振動するわけない）ので、奇数の場合も同じ結果になるに決まってます。気楽に計算しましょう(笑)

解説

６

問題

考え方

「値が汚い」以外の山場が全くない問題なので。

(1)は、微分して増減表。(2)は、\(e^x=t\) と置き換えて３次方程式を解くだけ。(3)は、図示もいらないただの \(x\) 軸回転体の体積計算。

ただ…偶数乗だけなので…フツーに根性計算の方が楽かもしれません(笑)生徒に徹底させている手前、講師の僕も義務感で次数下げを行いました。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m

解説

７

問題

考え方

(1)は何も考えず、千葉大の作問を信じ、メンドくさいですが \(f\left(\displaystyle\frac{1}{1-\alpha}\right)\) を計算しましょう。分子に \(f(\alpha)=0\) が作れて終了です。

(2)が鬼門になるでしょう。「極値の積が負」で処理しようとすると、計算がめんどい、かつ(3)が解けなくなってしまいます。

って即答できない人には厳しい問題です。かつここで、

(3)が解の極限
↓
(1)の結果を利用を意識
↓
解のどれかの範囲で \(\displaystyle\frac{定数}{n}\) を見つけておく
（一番小さい解、解答の \(\alpha_n\) の下限値で見つかります）

と解答のように完勝なんですが…

ここまで試験時間内で処理するためには、類問の経験がかなり必要でしょう。(2)までできていれば及第点に思えます。

解説

８

問題

考え方

\(C_1\:,\:C_2\) の半径 \(p\:,\:q\) は \(C\) の半径１よりは小さいっしょ
↓
内接は「中心間距離＝半径の差」、外接は「中心間距離＝半径の和」
↓
角度与えられてるから、余弦定理

って感じで、汚い作図でも円の特性から解法に気づけるようにしてください。これで(1)をクリアすれば、(2)は \(\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\displaystyle\frac{\sin\theta}{\theta}=1\) を使うだけで典型です。僕はここまで一切図を描きませんでした。

(3)も頭の中で図をイメージしてやったら、\(C_2\) が \(C_1\) より大きい場合（解答の(Ⅱ)）を失念しちゃいましたね、プロ講師名乗っててすいませんm(_ _)m

ま～これでも(4)は当たります。(1)の結果で \(\theta\) よりも \(p\) の登場回数が多いので、解答のように \(\theta\) を消去して、\(p\) の式の極限で考えるのが楽でしょう。分子・分母ともに有理化を実行して計算します。

解説

９

問題

考え方

(1)は、分母を払って \(t\) の恒等式となるようにするだけですが…

パスカルの三角形の \(k\) 行目と \(k+1\) 行目に注目すると…
↓
\({}_k\textrm{C}_m+{}_k\textrm{C}_{m+1}={}_{k+1}\textrm{C}_{m+1}\)

とゆ～マイナーな公式を知らないとお話にならない鬼畜問題となっております(笑)

さらにシグマの消去が必要なので、片方のシグマを一方に合わせるような変形も必要になります。

そして、(1)で充分に高レベルなのに…

(1)で \(m\) の漸化式を立式しているので、これを解く
↓
階差数列分かるタイプに持ち込み、シグマ部分が０に収束することを証明
↓
初項の極限で、無限等比級数

とゆ～、「ここまでやらせるのか？」って処理のオンパレードでした(笑)

• そもそも \(m\) の漸化式解く方向でいいのか不安
• その漸化式解いてるときに文字多くて混乱
• 一般項は０だけど、シグマとって０でいいの？（項数 \(m\) は有限確定値だから、結局はオッケー）
• 階差数列分かるタイプの漸化式だから、初項（\(m=0\)）の確認もいるよね、でもどのタイミングでやればいいの？
• 初項の極限に辿りついたけど…ここで無限等比級数までいるんか～い

ってことで鬼門が多すぎます…

解説

講評

去年2023の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

に思えます。個人的には９がなければやや易化だったんですが、９が厳しすぎました。これ解かされる理学部と医学部の受験生は可哀想…

また、解説中でも話してきた通り、７は類問の経験がかなりないと完答できない問題です。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！