2023名大【理系数学】解説・解答・講評

2023名古屋大学の理系数学の解説・解答・講評をお届けします！

文系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

１

問題

考え方

(1)は、複素数平面における、

円の方程式 \(|\alpha-1|=1\) を立式
↓
２乗して、\(|●|^2=●\overline{●}\) を利用

して証明するだけ。

(2)は、(1)と同じ流れで \(\beta+\overline{\beta}=\beta\overline{\beta}\) を立式したら、恒等式

\(x^4-px^3+qx^2+rx-s\:\)\(=(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})(x-\beta)(x-\overline{\beta})\)

を立式、右辺を展開して \(t\:,\:u\) で表し、係数比較です。

(3)は、1954の東大から未だに流行りの「閻魔の唇問題」の経験がある人からすればカンタンでしょう。(2)で \(\left\{\begin{array}{l}p=t+u\\s=tu\end{array}\right.\) と表されているので、解と係数の関係を逆利用し、\(t\:,\:u\) を解に持つ２次方程式の問題に帰着させるだけ。めぐろ塾↓では授業で５回以上扱います、的中(笑)

ま～名大の理系受ける人は皆経験あると思いますけどね、有名すぎる(笑)

点 \(\alpha\) が、点１を中心とする半径１の円周上で、\(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) は異なる
↓
\(0<\textrm{Re}(\alpha)=\displaystyle\frac{t}{2}<2\) という範囲が発生

することに注意して、「２次方程式の解配置問題」に持ち込みましょう。その後の処理も、↓の記事の最初の問題で紹介してる知識だけで対処できるのでカンタンです。

計算量も少ないので、今年のセットだとこれは完答したいところ。

解答

２

問題

考え方

(1)は、この記事↓

で紹介してる「２円が交わる条件」を使って終了。

(2)は、２円の方程式を連立（解答のように差をとるのが良いでしょう）して交点Ｐの \(x\) 座標 \(h(r)\) を求めるだけ。

(3)は文章長いけど、円と直線の作る領域の \(x\) 軸回転体の体積 \(V(r)\) を求めるってだけ。円錐とに分けて求積計算を行うだけです。

僕の解答のように、「(3)の結果、\(r-h(r)\) で因数分解できるじゃ～ん」って気づいて(4)で積の微分法を使用し、\(h(r)\) の代入を最後までガマンすると、とてつもなく計算が複雑化する鬼畜仕様になっております(笑)

考えられる計算法は全て試しましたが、

所詮 \(h(r)\) は４次関数ってことから、なるべく早い段階で \(h(r)\) を代入

しておかないと答は当てられないと思います。解答ではやむなく(3)の因数分解を解除し、微分後すぐに \(h(r)\) を代入しています。

増減表さえ作れれば最後の極限計算はオマケみたいなものですが、\(r(a)\) が(1)の範囲内に存在することも断らなければならないので、最後までたどり着くのは難しいでしょう。(3)までを確実に解答できれば及第点です。

解答

３

問題

考え方

「共有点の個数問題」＝「解配置問題」です。大学側が想定してるベスト解答を作成した自信があります(笑)

(1)で商の微分を回避するために、分母を払って差をとる
↓
(2)と(3)で使うグラフを統一するために、連立後 \(x\) で割る
↓
微分後、分子に(1)の形を作る

ベスト解答なんて目指さずに、答を当てましょう！！

• (1)の利用なんて考えず、(2)・(3)は差をとって２階微分の利用
• 全問、\(y=e^x\) 相手にグラフの共有点を考える

でも答は当たります。今年のセットで言うと、難易度・計算量的にこの問題の完答はマストです。

解答

４

問題

考え方

(1)は序文の \(P_n(x)\) の２つの式に \(n=1\) を代入するだけなので…この問題は…

(2)で二項定理の利用に気づけるかが全て

です。恥ずかしながら僕は気づけず…帰納法で証明する気マンマンで…

って気づくまでの所要時間…30分…気づいたときには、自分のバカさと出題者への怒りを禁じえず、めぐろ塾で一人発狂させて頂きました(笑)

(2)で30分近く帰納法で試行錯誤して、(2)の式の意味を考えていたので、(3)はすんなり解けましたが、(2)の式のシグマの中も和なので、

\(x^k\) の項は \(m≧k\) で発生する

ことを把握するのも大変です。

冷静に二項定理の利用に気づけて(2)まで解けたら大成功な問題でしょう。

解答

講評

ですね。2017～2020の難しさに比べればまとまな難易度ではありますが(笑)

それでも全ての問題にある程度の山場があり、カンタンに完答させてくれません。大問１つあたり35分以上使える試験時間でも、余裕は持てないでしょう。

１(2)まで　＋　２(3)まで　＋　３完答　＋　４(1)　で及第点。

こっから上積みできれば数学で点数稼げると思います。

因みに…名大数学では…三角関数の加法定理などの…

数学公式集が配られる

んですが…こんなのに頼る必要のある人が解ける問題は出題してくれないですよ(笑)逆に…

って数学できる人の神経を逆なでしてくれます。なぜこんなの配るのか謎(笑)

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！