2023大阪公立大【理系数学】解説・解答・講評

2023大阪公立大学の理系数学の解説・解答・講評をお届けします！

文系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

第１問

問題

考え方

問１は、ｎ回中でＡがｍ回勝つ確率を求めるだけなので、独立試行の定理を使うだけ。

解答のように、Ｂの１回のゲームでの移動４通りとその確率を表でまとめると良いでしょう。

問２は、この表をもとに、「２回だったら最大でも６段までしかいかない」ことから、各段にいる（ｍ＝０～６の）確率を丁寧に計算していくだけです。出題形式的に、一応ｍ＝５やｍ≧７の確率っが０であることも書いておいた方が良いでしょう。また、求めた確率の総和が１になることから計算ミスがないかも確認してください。

問３は「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」。パーで負けたら０段目に戻るので、最後にパーで負けたのをｋ番目（それまではどう移動しても良い）としてシグマで計算するという上位校では常套の処理ですが…

ミスの起きにくい問２までを完答できれば及第点でしょう。

解答

第２問

問題

考え方

問１は、\(z=x+yi\)（\(x\:,\:y\) は実数）とおいて与方程式に代入、座標平面における直線の方程式を立式するだけです。

ちょっとカッコ悪い解答にはなっちゃいますが、両辺の実部・虚部を比較して同じ式が出る、としても減点は喰らわないと思うので、しっかり結果の直線を当てましょう。

問２は、

複素数平面上での線対称移動
↓
回転により対称軸を実軸に重ね、実軸対称移動（共役処理）に帰着

させるのが一番カンタンで、2016の静岡大の問題とかを授業で扱っているめぐろ塾↓的中！

因みにその後の処理を見越し、あえて結果は極形式のまま解答しています。これでも減点は喰らわないかと。

問３は解答のように、

問２より、\(f(z)\) を \(z_2\) で表す
↓
回転から \(z_2=\left(\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)z_1\) を立式し、代入
↓
回転から \(z_1\) を \(z\) で表して代入

って感じで、逆から考えていくのがベストです。「極形式の積・商」は「偏角の和・差」にできるので。そしてこれも、

ってことを見越し、あえて結果は極形式を使って解答しています。

問４では目論見どおり、序文と似た形となるので、問１と同じ処理を実行するだけ。問３で \(-\displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i\) が出ないとってところから計算ミスを確認できる、親切な設計の問題です。

解答

第３問

問題

考え方

全体的には、

問１で、部分積分法を２回利用して定積分を書き換える
↓
問２で、真ん中を問１から１つのインテグラルにまとめる
↓
被積分関数の分子を評価し、\(x^2\) で割って、全体にインテグラルをくっつける
↓
問３で、問２の \(t\) に \(k\) を当てはめ、\(k=1\:～\:n\) の和をとって、はさみうちの原理

という典型的な流れですが…

一番の鬼門は、問２で、

• 問１使わなくても真ん中の定積分計算は可能
• っつーか真ん中は定積分計算しなくても微分はできる形
• 問１使って書き換えても定積分計算したくなっちゃう形

ってことで、この手の問題に慣れてる人ほど、問１の誘導を受け取るか、無視するかを悩んじゃうところ。不等式にインテグラルをくっつけるのは、基本真ん中が定積分計算できないときなので。

問２は、誘導を無視して↓のように左側の不等式だけ証明し、右側の不等式の証明は諦めるのもアリだと思います。左側は典型なので。

そして問３でも、

• \(k=1\:～\:n\) での和をとるか、\(k=1\:～\:n+1\) での和をとるか悩む
• \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\log k\) と \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\log(k+1)\) を、区間をずらして合体させる必要がある

って鬼門が用意されてる鬼畜仕様(笑)でも問２よりは典型的でしょう。

解答

第４問

問題

考え方

問３までは、受験で頻出の「フェルマーの小定理」の証明です。

証明経験のない人だと、問１・２が問３を帰納法で示すための準備であることに気づきにくくなってしまいます。証明経験のなかった人は、これを機に問３までの解答をしっかり理解しておいてください。

因みに問１では↓の公式を使っています。覚え方も書いておくので、覚えてなかった人は絶対に暗記しておきましょう、Ｃの和の計算なんかでも使います。

問４はユークリッド互除法を使うだけなのでカンタンですが…

解答のように、問３と問４を使うと証明できますが…

• 問４から、\(p\) を法として \((2n+1)^2≡2\) という形を導き、底への代入を考えなければならない
• 整数問題において \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 乗を作らなければならない

のでかなりキツいです、特に前者に気づくのが難しい。問４を考えれば気づけるレベルではありますが…僕がこの問題でどれくらいの時間アタマを悩ませたかは…ご想像にお任せします(笑)少なくとも時間内解答は僕にはムリでしたm(_ _)m

• 「フェルマーの小定理」の証明を知ってた人　→　問４までいける
• 「フェルマーの小定理」の証明を知らなかった人　→　最低限、問２・４は完答して欲しい

って感じで、知識の有無で差のついてしまう問題です。

解答

講評

大阪公立大の問題を１年セットで解くのは初めてでしたが…2022も軽く解いてみた感じ…

全ての大問が、完答しにくい問題です(笑)

一番完答しやすいのが第２問ですが、これも問２で「複素数平面での線対称移動」の効率処理を知らない人だと厳しくなってしまうので。

一問を完答するよりも、部分点をかき集められるかが勝負のテストだと思います。

また、全体的に誘導が非常にしっかりしている印象を受けました。変な混乱を誘うような誘導はなく、前の設問が確実に次以降の設問で必要な内容となっています。解けない設問に出会ったときは、出題者を信じて以前の設問の意味を考えてみることが大切な大学だと思います。もちろん解ける問題を解き終わってからの話ではありますが。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！