「解と係数の関係」の覚え方
めぐろ塾の安田むか～し先輩が教えてくれた…
「解と係数の関係」のちょっと面白い覚え方を君にも教えてあげよう！
覚え方：「バカ、バカだ」
２次方程式の解と係数の関係
\(ax^2+bx+c=0\)
の２解を \(\alpha\:,\:\beta\) とすると、
めぐろ塾の安田「基本対称式」を知らない人は、「解の１次の和と２次の和を必ずこの順で書く」って覚えて！２次の和の取り方は１通り
めぐろ塾の安田「バ（ｂａ）カ（ｃａ）」、濁点ついたらマイナスです！
以上で全文の完成～
２次方程式の解と係数の関係
\(ax^2+bx+c=0\) の２解を \(\alpha\:,\:\beta\) とすると、
\[\left\{\begin{array}{1}\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\\\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\end{array}\right.\]
３次方程式の解と係数の関係
めぐろ塾の安田２次のときと全く同じ流れで作れます
\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
の３解を \(\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) とすると、
めぐろ塾の安田やはり「基本対称式」を知らない人は、「解の１次の和と２次の和と３次の和を必ずこの順で書く」って覚えて！３次の和の取り方は１通り
めぐろ塾の安田「バ（ｂａ）カ（ｃａ）だ（ｄａ）」、やはり濁点ついたらマイナスです！
以上で全文の完成！
３次方程式の解と係数の関係
\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の３解を \(\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) とすると、
\[\left\{\begin{array}{1}\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\\\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\\\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\end{array}\right.\]
丸暗記って必要？
めぐろ塾の安田使用頻度が高いから丸暗記が必須です。
僕が2023の解答速報を書いた中だけで言っても、
で使ってるので…とんでもなく使用頻度が高い…さらに…
逆に使うことも多いから、全体の暗記も必須
公式なんて式の形だけ覚えりゃいいっしょ～
めぐろ塾の安田って気持ちは分からなくもないんだけど(笑)
「\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の３解を \(\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) とすると、」ってゆー序文の暗記も必要です。次の問題を考えてみましょう！
問題
次の連立方程式を解け。ただし、\(x≦y≦z\) とする。
\[\left\{\begin{array}{1}x+y+z=9\:\:\cdots①\\x^2+y^2+z^2=35\:\:\cdots②\\xyz=15\:\:\cdots③\end{array}\right.\]
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解説
連立方程式を解くときの基本は「文字消去」です。
めぐろ塾の安田でもこの問題で①から \(z=9-x-y\) で文字消去してみたい人がいたらやってみ。式が複雑すぎて詰むから(笑)
「対称式（どの２文字を入れ替えても変わらない整式）」は必ず基本対称式で表せるってゆー性質があるので、①と②から２次の和を求めます。
\[\begin{split}②\:\:&\Leftrightarrow\:\:(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=35\\&\Leftrightarrow\:\:9^2-2(xy+yz+zx)=35\:\:\left(\:∵\:\:①\:\right)\\&∴\:\:xy+yz+zx=23\end{split}\]
めぐろ塾の安田「必ずこの順で」って言った通り。\(x\:,\:y\:,\:z\) の基本対称式を「１次の和と２次の和と３次の和の順」で書き並べましょう！
\[\left\{\begin{array}{1}x+y+z=9\\xy+yz+zx=23\\xyz=15\end{array}\right.\]
めぐろ塾の安田「３次方程式の解と係数の関係」の \(x\:,\:\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) を \(t\:,\:x\:,\:y\:,\:z\) として逆に利用することで、１変数の方程式を作れます！因みに逆に利用する場合は \(a=1\) にするので、「必ずこの順で」を守ってれば、\(t^3\) を書いた後に「バカだ」で上から順に濁点ついたらマイナスで係数を埋めていくだけって機械作業にできます。
解と係数の関係の逆利用により、\(x\:,\:y\:,\:z\) は、
\(t^3\:\)\(-9\:\)\(t^2\:\)\(+23\:\)\(t\:\)\(-15\:\)\(=0\)
の３解である。
めぐろ塾の安田後は「１解見つける」→「組み立て除法で因数分解」で３次方程式を解くだけ～
\[\begin{split}&t^3-9t^2+23t-15=0\\\Leftrightarrow\:\:&(t-1)(t^2-8t+15)=0\\\Leftrightarrow\:\:&(t-1)(t-3)(t-5)=0\\&∴\:\:t=1\:,\:3\:,\:5\end{split}\]
\(x≦y≦z\) より、 \((x\:,\:y\:,\:z)=(1\:,\:3\:,\:5)\) (答)
めぐろ塾の安田このように逆に使うことも多いし、使用頻度も高いので、「解と係数の関係」は序文まで丸暗記しておく必要があるわけですが…
証明も大事
「因数定理」で証明できることも理解しておく必要があります！
２次方程式
\(ax^2+bx+c=0\) の２解を \(\alpha\:,\:\beta\) とすると、\(ax^2+bx+c\) は \((x-\alpha)(x-\beta)\) を因数に持つので、恒等式
\(a\:\)\(x^2+bx+c=\:\)\(a\:\)\((x-\alpha)(x-\beta)\)
が成立する。
めぐろ塾の安田「恒等式処理では最高次の係数を合わせる」ことが重要ってのは覚えといて。後は右辺を展開して係数比較すれば覚えた形が出てくるから、自分で確認してみて～
３次方程式
めぐろ塾の安田２次のときと同様
\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の３解を \(\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) とすると、\(ax^3+bx^2+cx+d\) は \((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\) を因数に持つので、恒等式
\(a\:\)\(x^3+bx^2+cx+d=\:\)\(a\:\)\(\small{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}\)
が成立する。
めぐろ塾の安田やはり後は右辺を展開して係数比較すれば覚えた形が出てくるわけですが…何でこんなのおさえとかないといけないかってゆーと…証明が出題されることもあるし…こんなの↓も出題されるから(笑)
2022東京医科大第４問
めぐろ塾の安田「解と係数の関係」を暗記するのは３次方程式までだから…
この問題は「解と係数の関係」の証明を意識して、
\[\scriptsize{x^4-8x^3+cx^2+4x-6=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)}\]
の右辺を展開して頑張るしかありません(笑)因みに「\(\delta\)」は「デルタ」ってギリシャ文字で、複素数平面の問題とかでもたまに登場します。
まとめ
「解と係数の関係の覚え方」は、「バカ、バカだ」で、濁点ついたらマイナス！
めぐろ塾の安田極力丁寧に説明してきたつもりだけど…これでもまだ覚えられなかったらめぐろ塾に来なさい↓(笑)
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お問い合わせはお気軽にどうぞ！ミスを見つけた場合のクレームも頂けると助かります(笑)
君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！
