2023名大【文系数学】解説・解答・講評

2023名古屋大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします！

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

１

問題

考え方

(1)は、「１解を見つける」→「組み立て除法」で３次式を因数分解するだけ。

(2)は、\(f(x)=g(x)\) の解の個数を２個にすればオッケーです。(1)の結果から、解が \(x=-1\:,\:2\:,\:a\) と分かるので、\(a\) を \(-1\) か \(2\) にしておくだけ。

結局(3)では、「\(a=-1\) のときと \(a=2\) のときの \(y=f(x)\) のグラフのうち、題意を満たす方を \(y=g(x)\) のグラフと共に描きなさいよ～」ってことなんですが…

これ、「\(y=g(x)\) のグラフは頂点 \((0\:,\:1)\) で上凸放物線に確定してあげてるから…」

• \(f(x)=g(x)\) が \(x=\alpha\) を解に持つ　→　\(\left\{\begin{array}{l} y=f(x)\\y=g(x)\end{array}\right. \) が \(x=\alpha\) で交わる
• \(f(x)=g(x)\) が \(x=\alpha\) を重解に持つ　→　\(\left\{\begin{array}{l} y=f(x)\\y=g(x)\end{array}\right. \) が \(x=\alpha\) で接する

を使って、「微分して増減表作る前にグラフ \(y=f(x)\) の状態を考えれば、どっちが不適か分かりますよ～」って出題者側からのメッセージなんですよね。これを受け取ると、

ことに気づけ、\(a=-1\) の方が不適であることが分かります。\(a=-1\) のときは \(f'(x)=0\) の解がキレイに求まらないので極大値計算が面倒ですが、これに気づければ解答のような簡易証明で極大値計算を回避できるわけです。

１問あたり30分使える試験時間です。\(a=-1\) のときの極大値計算を実行してでも答を当ててください！

２次方程式 \(f'(x)=0\) の解がキレイに求まらない極値計算
↓
\(f(x)\) を \(f'(x)\) で割って次数下げ

ってゆー常套処理を行えば、大した計算でもありません。試験中は、解答の質よりも答を当てることを重視しましょう！

解答

２

問題

考え方

「立体は断面を抜き出して考える」って原則をしっかり守り、最初は長方形ＡＦＧＤを抜き出して考えましょう。小学生内容からも明らかですが、長方形の対辺上の線分を結んで三角形を２つ作ると、錯角の一致から２つの三角形は相似になります。

(1)・(2)はこれを使うだけ。大した内容ではありませんが、図形量の最大・最小で同様の問題を問題集に入れてるめぐろ塾↓的中！

とさせてください(笑)

(3)・(4)では、(1)・(2)の結果は使いません。やはり三角形の相似から、(2)の三角形の高さの比を、２つの四面体の高さの比に変換して、(3)で体積計算、(4)でその最小を求めます。

解答では三角形の相似をかなり詳細に記述しましたが、答が当たってれば大丈夫でしょう(笑)

(4)も「分数関数の最大・最小」となり、

(分子)÷(分母)　→　相加・相乗平均の利用

という、典型的な流れです。

個人的には、問題の難易度とかよりも、立方体の作図において裏側の辺を点線にしていない出題が気になってしまいました…

って出題者様の意図があるんでしょうか？(笑)

出題者様を尊重するめぐろ塾では、問題文はそのまま再現して作図しました。

閲覧者様を尊重するめぐろ塾では、解答は立方体裏側の辺を点線で、さらに色も使って分かりやすく作図させて頂きましたm(_ _)m

解答

３

問題

考え方

球を取り出して、その結果でカードを抜くか抜かないか。

これも記述して、部分点を獲得しておいてください。

(1)は、「取り出して戻す」→「復元抽出」。

(2)は、「取り出して戻さない」→「非復元抽出」。

(1)は５回目までにどの球が出たかは関係ないので、６～８回目を順番通り考えるだけですが、(2)は順番通り考えると５回目までの球の出方を考えなければならないので、場合分けがとんでもない量になります。

一例を挙げましょう。10枚のうち、３枚が当たりのくじがあります。これを10人が順に１枚ずつ、もとに戻さず引いていきます。

って思いませんよね。４番目までに当たりが０枚or１枚or２枚or３枚出た場合を愚直に計算しても、５番目の君が当たりを引く確率は、１番目の人と同じ \(\displaystyle\frac{3}{10}\) になります。つまり、

「非復元抽出」では、何番目でも立場は対等
↓
何番目から考えても良い

わけです。

これを意識し、(2)では逆から（８→７→６回目で）考えられるかが重要です。そーすると、このことを順列に言い換えて論証しても、解答のように４行くらいで解決できます(笑)

ま～でも(2)まで解けた人は少ないでしょう。(1)まで解ければ及第点です。

解答

講評

2022と比べると…

難化した2022の難易度がそのまま継続された感じです。

でも、一般的に難問と言えるのは３(2)くらい。１～３(1)までをどれくらいしっかり解けるかの勝負となったでしょう。

解答を書いてる側としては、文理共通問題が全くなかったことが気になりました。

ま～でも受験生にとっては関係のない話です。流石に名大なので、文系でもある程度の数学力がなければ解けない難易度なのは言うまでもないでしょう。因みに名大数学では…三角関数の加法定理などの…

数学公式集が配られる

んですが…こんなのに頼る必要のある人が解ける問題は出題してくれないですからね！(笑)しっかりと数学の勉強を頑張ってください！

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！