2024大阪公立大【理系数学】解答速報
2024大阪公立大学の理系数学の解答速報をお届けします！
めぐろ塾の安田人員不足のため、一人で孤独にやっております(笑)
答を確認しやすい問題がほとんどだったんですが、大手さんが今年は解答速報を出していないので、値的な不安は拭えません。ミスや致命的な間違いを見つけた方は、TwitterのDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m
また、文系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m
第１問
問題
考え方
問１は流石に本校受験者であれば問題ないでしょう。ただの不等式証明なので、大－小≧０とし、大－小の二階微分まで調べて証明します。
めぐろ塾の安田問２からは、さすが大阪公立大って感じ。
問１の不等式の \(x\) に \(\displaystyle\frac{k}{n^2}\) を代入して、シグマをつける、そしてはさみうちの原理ってのはすぐに分かると思うんですが…
上からの評価を与えてくれていないので、
自力で \(\sin x≦x\) を用意する
必要があります。
\(y=\sin x\) の \(x=0\) における接線が \(y=x\)
ってのを意識している人からすれば当たり前なんですが。
めぐろ塾の安田覚えていなかった人は、これを機に上のグラフの状態を暗記しておいてください。\(\displaystyle\lim_{x\to0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1\) って公式とか覚えやすくなるし、上のグラフに \(y=\tan x\) も入れて覚えておけば、この公式の証明にも使えます。
個人的には、今年のセットの中で問３が一番苦しみました。結果論からすれば問２と同じく、
問１と自分で上から評価した、\(x-\displaystyle\frac{x^2}{2}≦\sin x≦x\) を使うだけ
なんですが、
- 「問２の結果を使うのか？」って思っちゃう
- 区間からの評価とかやりたくなる
- 積分の平均値の定理とか使いたくなっちゃう
ってことで、できる人ほど解法に迷っちゃう問題(笑)
めぐろ塾の安田特に僕は「問２の結果を使うのか？」ってとこに引きずられました。昨年解いてみて、大阪公立大は誘導が秀逸な印象があったので。
後者２つでも収束する \(\alpha\) の範囲と、ほとんどの場合の極限値が０になることは分かるので、ここまで記述できていれば大成功だと思います。
解答
第２問
問題
考え方
「複２次型４次方程式」と「複素数平面」の融合問題です。「複２次型４次方程式」は \(x^2=t\) とおけば２次方程式にできるので、
問１は、判別式 \(D>0\) と \(D<0\) で場合分け
するだけ。前者の場合は異なる虚数解を４つ作るために、\(t<0\) に異なる２解を持たせるよう、「２次方程式の解配置問題」として処理します。端点値 \(f(0)>0\) に注目すれば場合分けも発生しないので、処理はカンタンめ。
めぐろ塾の安田この問題の一番の鬼門は問２。
「二重根号を用いずに」と言われているので、
「複２次型４次方程式」の特殊因数分解法を知らないと解くのほぼムリ！
ってゆ～鬼畜仕様です(笑)こーゆーやつ↓
問２さえクリアすれば、問３は問１の場合分けの \(D<0\) のときに注目、問４は \(D>0\) のときに注目すればいいって非常にキレイな構成なんですが…
めぐろ塾の安田問２で脱落してしまった受験生が多いでしょう。この問題完答していれば、かなり数学で点数を稼げたはずです。
解答
第３問
問題
考え方
大阪公立大としては珍しい、めっちゃサービス問題です。めぐろ塾の小テスト↓の問題と一緒(笑)
棒の回転的な表現で問題文が与えられていますが、結局受験生の誰もが経験あるであろう「糸ほどき問題」↑と処理が全く一緒。このインボリュート曲線の媒介変数表示が問２で、その求積が問３で要求されているだけです。めぐろ塾が授業で強調する、
- ほとんどの場合、\(y\) 軸積分が楽
- 部分積分で、結果が流用できる
のうち、後者が問１でヒントで与えられているってゆ～、ホントにサービス仕様。因みに検算法までめぐろ塾では話すんですが、ここまで知りたい人はご入塾をご検討ください(笑)↓
- 日本全国どこからでも受講可能！
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めぐろ塾の安田初回面談は全て私めが個別に対応させて頂きますm(_ _)m
お気軽にお問い合わせください↓
電話番号からのお問い合わせの場合、授業や面接中で対応できない場合は折り返しご連絡させて頂きますので、留守番電話にご用件を残しておいて頂けると助かります（セールス・勧誘のお電話は固くお断り致します）。
途中計算のミスはともかく、最終的な値には自信があります。2008信州大と全く同じ答になるので(笑)完答はマストな問題でしょう。
解答
第４問
問題
考え方
めぐろ塾の安田昨年と同じく、最後は「整数問題」です。去年のフェルマーの小定理とその活用の問題よりは全然カンタンでしょう。
問１は \(p\) と \(q\) を未知数として連立方程式を解くだけ。
問２の１．は、その結果を活用すれば終了。
鬼門は２．だと思います。多分解答のように、
\(k\) と \(5k^2-m^2\) が互いに素を示す
↓
\(p\) が整数であるとき、\(5m-2k\) は \(5k^2-m^2\) の倍数であることが示せる
↓
そのとき \(q\) も整数
とするのが正解だと思うんですが、\(q\) が整数って条件を使わないのが気持ち悪いんですよね…
めぐろ塾の安田ま～でも２．は解けなくて良し(笑)
２．が解けてなくても、３．は解けます！結局２．までの結果から、\(p\) と \(q\) が整数のときは、整数 \(l\) を使って \(5m-2k=l(5k^2-m^2)\) って表せるので、ここに \(k\) と \(m\) が互いに素って処理を実行して、出てくる式を組み合わせるだけ。
全体的に「互いに素」の処理ばっかでイヤになる問題ですが、問２の２．以外は完答したいところ。
解答
講評
昨年の解説記事↓
も作成しましたが、これと比べると…
| 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 記述式 | 120分 | ４問 | やや易化 |
めぐろ塾の安田です。イヤ、それでも十二分にムズいんですけど(笑)
全ての問題が完答しにくかった去年2023に比べ、第３問が圧倒的サービス問題であったことから、やや易化が妥当かと思います。
第１問の問１・第２問の問１・第３問・第４問の問２の１．まで の完答で合格最低点には届く！
でしょう。ここに部分点上積みできれば、かなり数学で点数を稼げたはずです。
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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！
