2024神戸大【理系数学】解答速報

2024年3月26日

2024神戸大学の理系数学の解答速報をお届けします！

１．

問題

考え方

(1)と(2)は増減表作っちゃえば終了です。(2)ではほとんど(1)と同じ計算になるので、解答のように「(1)と同様に」って感じで微分計算とかは省いちゃっていいと思います。

(3)は(2)の結果から、特性方程式を解くタイプの２項間漸化式を解くだけ。

めぐろ塾の安田

昨年2023も最初は数列でしたが、これよりは全然カンタンな点取り問題です。確実に完答してください。

解答

２．

問題

考え方

めぐろ塾の安田

これもただの点取り問題。

(1)は接点とかおいてもいいんですが、文字を増やさないように、連立して \(D=0\) を２回で処理するのがいいと思います。

(2)も連立して \(D>0\) です。\(\displaystyle\frac{1}{a}\) の２次不等式を作成する際に、割るものの正負で場合分けが発生しないように \(a^2>0\) で不等式の両辺を割るのが最大のポイントです。こーゆ～細かいテクニックをネチネチ話すのがめぐろ塾↓

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めぐろ塾の安田

複数回判別式 \(D\) を使うので、解答のように各 \(D\) を \(D_1\:,\:D_2\:,\:D_3\) というように区別するのがベスト。ま～区別しなくても減点は喰らわなそうですが。

(3)は軌跡ですが、重心なので一切図示はいりません。接点を考えるので、解答のように解と係数の関係で連立した２次方程式の１次の項に注目するのが一番楽です。ま～でも他の処理でも接点の \(x\) 座標が正確に出せてれば問題ありません。その後は重心Ｇ\((x\:,\:y)\) を \(a\) の式で表して、\(a\) を消去です。(2)の不等式条件からも \(a\) を消去して、\(x\) の範囲に変換するのを忘れずに！

因みに(2)辺りの段階で \(\displaystyle\frac{1}{a}=t\) と置き換えてしまった方が良いようにも思えましたが、こーゆ～のでムダに置き換えると負けた気がするので、\(\displaystyle\frac{1}{a}\) のままゴリ押させて頂きました(笑)悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m

そこそこ計算は煩雑です。計算ミスったときのために「\(a\) を消去」とかはしっかりと記述し、減点をおさえられる解答にしておきましょう。

解答

３．

問題

考え方

めぐろ塾の安田

(1)と(2)はほぼ数えるだけ。

(2)では、「１～６の目のどれか１つだけ約数にならない」ものを数えましょう。約数とならないのは、４の目と５の目しかありません。\(4=2^2\:,\:6=2\cdot3\) が合成数なので、公倍数という言葉が使いづらいのが難点ですが、答あたってれば減点はないでしょう。

(3)は、

サイコロを３回投げて、出た目の積が160の約数
↓
「３と６の目は出ない」かつ「４は２回以下」かつ「５は１回以下」

です。後者２つは余事象を使うと計算しやすいので、解答のように、

複合事象の余事象
↓
ド・モルガンの法則（バーは分割すると「または」と「かつ」が逆転）

で計算するのがベストですが、数えてしまっても良いでしょう。答は当てたい問題です。

解答

４．

問題

考え方

めぐろ塾の安田

国公立の求積としてはサービス問題。

\(X_1\) と \(X_2\) は円柱になります。\(X_3\) は回転軸に垂直な断面をとって計算ですが、(2)が丁寧な誘導になっています。

因みに(2)では…

めぐろ塾の安田

しっかり \(x=t\) を取り出して作図しようかな～

とも思ったんですが、断面がドーナツ型にもならない（ただの円）なので、割愛しました。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m

空間の回転体の体積
↓
「回してから断面とる」はダメ！
↓
「断面をとってから回す」が正解！

という基本を守りましょう。「回す」という複雑な作業を、空間ではなく平面で実行することが大切です。

定積分計算も非常に容易なので、完答はマストな問題に思えます。

解答

５．

問題

考え方

めぐろ塾の安田

\(u=\tan t\) と置換するタイプの積分計算です。「アークタンジェント」って言葉を知ってる人も多いかもしれないですね。

(1)は本校受験者であれば問題ないでしょう。上の置換積分を実行するだけ。偶関数の性質から、最初に \(f(x)\) の定積分を簡略化しておくのがベストです。

(2)はそこそこムズイですね、僕も10分くらい悩みました。

めぐろ塾の安田

\(y=x\) 対称に注目すんの？陰関数のまま微分すんの？

って感じで(笑)前者は意味なかったです、後者でも作図まではできるんですが、求積計算ができない。ほんで、

(1)の誘導から、取りあえず \(x=\tan\theta\:,\:y=\tan\phi\) とおいてみる
↓
\(f(x)+f(y)=f(1)\) から、\(\theta\) と \(\phi\) の不等式条件がでる
↓
\(\tan\) の加法定理で、\(x\) と \(y\) の不等式条件に書き換えられる

ってことに気づきました。気付いちゃえば計算は楽な問題なんですが、解けた人は少なそうです。\(y=x\) 対称であることに気付き、陰関数微分で単調減少を見抜いて作図って感じで部分点拾う、求積は諦める、ってので及第点に思えます。