2024名大【理系数学】解答速報

2024名古屋大学の理系数学の解答速報をお届けします！

１

問題

考え方

(1)は微分して増減表を作成するだけ。最小値を求めるだけなら相加相乗平均でいけますが、「極値」って言われてるので、ちゃんと微分しましょう。でも、相加相乗平均で検算するのがいいですね。

(2)は、超典型問題の「接線の本数問題」です。もちろんめぐろ塾↓のテキストにも入れてあります。文理共通の授業でも理系専用の授業でも扱うくらい大事な内容。

接点の \(x\) 座標を \(a\) とおき、接線の方程式を立式
↓
点Ｐの通過条件を処理し、\(a\) の方程式を立式
↓
\(a\) の方程式の解の個数問題（解配置問題）

と考えます。今回はこれで \(a\) の２次方程式の解配置問題となり、軸・判別式・端点値を処理するだけのタイプになるので、計算量は多くありません。この処理が意味不明って人は、↓を読んでくださいm(_ _)m

(3)でいきなり整数問題になりますが、(2)の \(a\) の２次方程式の２解が \(\alpha\;,\;\beta\) なので、解と係数の関係を使っておきましょう。\(t\) を消去すると、\(●\alpha\beta+〇\alpha+■\beta=□\) という、因数分解で素因数の「拾い上げ」が実行できる有名な形が出てきて終了です。

解答

２

問題

考え方

(1)は、冷静に \(z=1\) が解になっていることに気づき、因数分解。残りの２次方程式に解の公式を使うだけです。意味なく思えるこの後の図示が、(2)・(3)の誘導になっています。この時点で、

って思えるのがベスト。

(2)は、(1)で解いた \(P(z)=0\) が活用できることに気づきましょう。１次の項に注目すれば、\(P(z)=0\) の \(z\) に \(\alpha z\) を当てはめるのは明白なので、後は他の係数の一致を考えるだけです。このように考えることで、\(P(z)=0\) の解を複素数平面上で \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) 回転させたものが \(Q(z)=0\) の解であることが分かるので、一番下の点を \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) 回転させたものを答としましょう。

(3)は、(1)の図示結果と(2)の回転から、(2)の答が \(P(z)=0\) の解の一番上のやつと一致するしかないって気づけば、実部・虚部を比較して終了。

解答

３

問題

考え方

(1)はただの内積計算なので、本校受験者で間違える人はいないでしょう。

(2)も有名処理です。

平面のベクトル方程式で、点Ｑが平面 \(H\)（ＡＢＣ）上から　\(\overrightarrow{\textrm{AQ}}=\alpha\overrightarrow{\textrm{AB}}+\beta\overrightarrow{\textrm{AC}}\)
↓
ＯＱ⊥平面ＡＢＣ　を　\(\begin{equation}\begin{cases}\overrightarrow{\textrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AB}}=0\\\overrightarrow{\textrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AC}}=0\end{cases} \end{equation}\)　で処理
（平面との垂直は、平面を作る２ベクトルとの垂直で処理）

するだけ。誘導を含めた(2)以降の設計は、2023東大の理系数学の第４問と似ていました。

(2)が「Ｑの座標を求めよ」になっていない
↓
(2)の結果から、\(\overrightarrow{\textrm{AQ}}=\overrightarrow{\textrm{BC}}\) に気づく
↓
平面 \(H\)（平面ＡＢＣ）上で図形的にできることに気づく

と、解答のように効率的に(4)までを処理できます。

解答

４

問題

考え方

(1)は余事象を考えるだけなので、絶対に当ててください。

(2)は帰納法です。ただ…

• \(β\) 関数とかでの部分積分の経験がないとツライ
• 確率漸化式的な考え方も絡む

ので、結構難易度は高めです。

結果論から言えば、解答のように、被積分関数が一致するように(2)の式を調整するだけです。でも…

• 問題全体の変数である \(k\) を、定数扱いの \(n\) に代入するのは勇気がいる
• \(\beta\) 関数に慣れてるオレなら、ワンチャン(3)単体でも漸化式とかで解けんじゃね？って思っちゃう

とか、できる人ほど色々悩んじゃう問題。名大数学は誘導の設計がしっかりしているので、作問者を信じることが、時間内解答では大事だったかな～と思います。

解答

講評

昨年2023の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

に思えます。

昨年2023と同じく、良問ばかりの構成でした。大問数が少ない変わりに、大問１つが複数の範囲で構成されている↓のも2023と同様です。

• １は、数Ⅲの微分法、数Ⅱの２次方程式、数Ａの整数
• ４は、数Ａの確率、数Ｂの数列・確率漸化式

単体として解けるのは２「複素数平面」と３「ベクトル」なんですが、３はこのタイプの誘導の経験がないとツライので、唯一解きやすいのは２だと思います。でも解説中でも言った通り、あまり見ないタイプの問題ではあるので、複素数係数の方程式や複素数平面の回転にかなり慣れてないと解けません。

名大数学では…三角関数の加法定理などの…

数学公式集が配られる

ことです…

こんなのに頼る必要のある人が解ける問題は出題してくれないのに(笑)

ただ、今年2024もいたずらな奇問・難問はなく、前述の通り良問ばかり！試験時間が150分あることからも、数学が得意な人であれば満点近くも狙える難易度です。

数学力がダイレクトに点数に現れる試験！

だったんじゃないでしょうか？

でも…ま～…受験生の皆さん。終わった試験はそんなに気にしなくてオッケー！

国公立の後期を受験しない人、本当に１年間お疲れ様でしたm(_ _)m

後期を受験する人は、それに向けてラストスパート頑張って！！

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！