2024同志社大全学部【理系数学】解答速報

2024同志社大学の全学部日程の理系数学の解答速報をお届けします！

［Ⅰ］

問題

考え方

小問集合です。昨年↓

と同じく、(1)が「ｎ回試行の確率」、(2)が「複素数平面」からの出題でした。

(1)

「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」です。計算量も多くなく、カンタンです。

速報当日の昼間に他の予備校の依頼で東海大医学部２日目の解答速報打ってたんですけど…大問２つが両方とも漸化式で…１つが確率の連立漸化式たてる問題だったので…

Twitterでミスを指摘してくださった方、本当にありがとうございますm(_ _)m

受験生のみんな、前日にやった解法とかに引きずられないように！僕みたいに大人になって恥をかきたくなかったら(笑)

ミスをなかったことにするのはフェアじゃないので(笑)Twitterで教えてくださった方の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」を本解答に、僕の＜方針２＞「確率漸化式」は別解で載せておきました。現在2024年2月時点で高２の人、別解はあまり参考にしないでください(笑)

(2)

「複素数平面」の軌跡としては典型的な形であり、

として「点 \(-ti\) と \(\displaystyle\frac{t-2i}{t^2+4}\) を結ぶ線分を \(\sqrt{t^2+4}\)：\(3\) に内外分する点を直径の両端とする円」と求める、「アポロニウスの円」を用いた解法と、解答に掲載している「両辺を２乗して、円の方程式の一般形 \(az\overline{z}+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+c=0\) の形に持ち込む」という２つの解法があり、通常は前者の方が楽です。

因みに、記述式としても恥ずかしくないレベルの解答を打ち込みましたが、複素数平面における円の方程式の一般形の変形に慣れている人であれば、解答４行目の式、

の時点で、中心を表す複素数 \(w=\displaystyle\frac{t-(2-3t)i}{t^2-5}\) が読み取れます。マーク式（答のみ解答）なので、円の方程式全体の変形は考えずに解いてしまった方が良いでしょう。

解答

［Ⅱ］

問題

考え方

典型的な「ベクトルの１次結合」からの面積比の問題で…

(1)・(2)は、表したい点まわりの線分比が分かるので「１次結合＜解法１＞」。

(3)は、表したい点Ｐが交点なので「１次結合＜解法２＞」。因みに解答のように、２直線の方向ベクトル \(\overrightarrow{\textrm{OC}}\:,\:\overrightarrow{\textrm{MD}}\) をそれぞれ４倍、\(1+x\) 倍して係数を整数にして用いると、その後の連立方程式を解くのがクソ簡単になります。

• 係数に文字 \(x\) が含まれる
• 問題文で文字が使われすぎてて、(3)で設定する２文字をどれにするか迷っちゃう

とかイライラする部分はありますが、冷静に完答してください。

解答

［Ⅲ］

問題

考え方

(1)～(3)はひたすら計算するだけです。

(3)でヘッセの公式からＯＨを求めると、

\(p\) の値に関わらず、ＯＨ＝\(\sqrt{2}\)
↓
点Ｈの軌跡は、Ｏを中心とする半径 \(\sqrt{2}\) の円周上

と分かるところまではカンタンなんですが…ここから鬼門が(笑)

鬼門の１つ目、(4)で点Ｈが円のどの範囲を動くかを判断するところ。(3)まででスゲー傾きを求めさせているので、解答では \(p\) の範囲を傾きの範囲に変換してやりましたが、傾きが存在しない（\(y\) 軸平行の）場合に言及するのとかかなりダルかったです(笑)

鬼門の２つ目、(5)の線分の通過領域を図形的に読み取るところ。この手の問題に慣れている人ほど、

↑の記事で紹介してるような式的手法（逆像法）を使いたくなるところですが、

• 端点Ｍが放物線 \(C\) 上であること
• (4)までの誘導

からガマンしないといけません。

鬼門の３つ目、求積計算がダルいところ。解答のように色つけた３領域で計算するのがベストだと思いますが、試験中にフリーハンドでこんなにキレイに作図できるわけはないので、計算領域を判断するのがかなり大変、かつ計算量も多いです。

因みに解答では緑色の領域の計算を、代入計算を簡略化するために \((x-4)\) 基準（代入して０になるカタマリ）で定積分する、という数学Ⅱ範囲の求積でのお決まり手法をとっています。

って思った高２生とかいたら、めぐろ塾↓への入塾を検討した方がいいかもしれない…私めがこれ以上なくクドく説明して差し上げるっ！(笑)

と…宣伝はこれくらいにして(笑)

100分という試験時間で最後の計算まで当てるのは厳しいでしょう。

的なノリで(4)まで解ければ及第点です。(5)の軌跡を図示できたらサイコーですね、その場合は取りあえず面積は立式し、計算は諦めても部分点は拾った方が良いでしょう。

解答

［Ⅳ］

問題

考え方

去年の［Ⅳ］と一緒で…出題者側が最後まで解かせる気ないですね(笑)

(1)は、「\(\sin(整数)\pi=0\)」って唱えれば終了。

(2)の最初は部分積分を２回使うだけ。\(\displaystyle\int_{1}^{m^3}f(x)dx\) はそれを使えるように置換積分するだけです。冷静に計算してください、僕は１回ミスりました(笑)(4)の時点で気づいて直しましたが。

(3)は「用いてよい」って言われてる不等式にインテグラルをくっつけて、シグマをくっつけるだけで典型です。

ノリで(3)の不等式に(2)の結果は代入できるでしょう。ここで、

• \(\cos(m\pi)=(-1)^m\)
• \(m\) は結構大きいから、\(m^2\) に比べて \(m\) はカスみたいなもん
• \(S_n<0\) って言われてる

って意識を持つと、\(m\) の偶奇で場合分ければ、\(S_{m^3}\) の正負判断にこの不等式が使えることが分かります。

平方完成して増減を示唆
↓
\(10≦m≦30\) での最大・最小値で評価、そのとき平方完成の式は複雑すぎるので使わない
↓
問題文で \(3<\pi<4\) って言われるから、義務感でそれを使う

ってしましたが、打ち込んでてメンドくさくてイヤになりました。ストーリーは合ってると思うんで、この部分計算ミスっててももう直さないっす、悪しからず(笑)ってか０にそこまで近くないんで、もっとざっくりとした評価でもいいかもしれない。

そして(5)の文章の意味不明さ(笑)僕は \(y=S(n)\) のグラフと \(n\) 軸の交点のイメージを持って理解しましたが、離散変数でこの意識を要求するのは受験生には酷かと。

100分という試験時間内で完璧な解答を書くのは現実的ではないです。(3)までできれば及第点。(4)や(5)のストーリーが読めた場合は、計算で確証を得ないでも結論を書いて部分点を拾った方が良いでしょう。

解答

講評

去年の解説記事も作りましたが…去年と比べると…

一般目線で言えば小問集合［Ⅰ］は去年より簡単です、私めには難しかったですが(笑)

［Ⅱ］が点取り問題って意味合いで言うと去年の［Ⅲ］と対応しますが、文章の意味不明さとか空間でなく平面ってことから、去年の［Ⅲ］より簡単です。

［Ⅲ］が計算キツイって意味で去年の［Ⅱ］と対応、［Ⅳ］が最後まで解かせる気がないって意味で去年の［Ⅳ］と対応し、難易度差は感じません。

ま～それでも100分って時間だと厳しい試験ってのは変わらないです。

昨年は、合格者平均が５割をきってる学部・学科がほとんど
↓
今年は、合格者平均は５割超えるんじゃん？

って感じかと思います。

私立医学部の入試はそろそろ終盤だけど、一般の学部の試験はまだ始まったばかり！同志社も全学部より学部個別の方が空気読んだ出題だよ！！(笑)

君の受験はまだまだこれからだっ！！！

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！