2024京大【文系数学】解答速報
2024京都大学の文系数学の解答速報をお届けします！
めぐろ塾の安田理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m
１
問題
考え方
めぐろ塾の安田３等辺の頂点Ｏから下ろした垂線の足Ｈは、底面ＡＢＣの外心！
なんてのは受験数学での常識です。京大でも2016理系数学３で証明として出題されているくらいですし。
でも京大の空間は歴史的に、図形的にできる問題もベクトルで式的に解決しやすく作問されていることがほとんどなので、解答では、
\(\overrightarrow{\textrm{OA}}=\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{\textrm{OB}}=\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{\textrm{OC}}=\overrightarrow{c}\) と設定し、角度条件から \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\:,\:\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\) を計算
↓
平面のベクトル方程式で、\(\overrightarrow{\textrm{OH}}=(1-s-t)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\) と表す
↓
ＯＨ⊥平面ＡＢＣ を \(\begin{equation}\begin{cases}\overrightarrow{\textrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AB}}=0\\\overrightarrow{\textrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AC}}=0\end{cases} \end{equation}\) で処理して、\(s\:,\:t\) を確定
（平面との垂直は、平面を作る２ベクトルとの垂直で処理）
↓
これらの結果から \(\left|\overrightarrow{\textrm{OH}}\right|^2\) を計算して、四面体の高さを出す
とゆ～、皆が大好きな方法でやりましが…
めぐろ塾の安田計算量ハンパない(笑)京大に裏切られました、図形的にいかないと厳しいです。
ま～でも、最終結果の２重根号が外れないことから言って、図形的にやっても計算は楽ではない…僕の解答の方が部分点は拾いやすいので、これでいって計算途中で諦めるのが無難かもしれません。いずれにしても、無理に時間を使って答を当てにいかない方がいい問題です。
解答
２
問題
考え方
めぐろ塾の安田理系数学の１と類似した問題です。ちょっと理系の出題よりはカンタンめ。
2014早稲田理工でも出題されている「立方体の塗り分けの確率」です。
めぐろ塾の安田「場合の数」で出題されることがほとんど。「場合の数」での出題ならば同じものは区別しないので「固定」が必要ですが、「確率」での出題では同じものを区別するので「固定」は必要ありません。
各面を区別して、冷静に確率を計算しましょう。「場合の数」での出題に慣れてしまっているので、底面基準で考える解答を作成させて頂きました。解答くらい丁寧な記述を心がけてください。計算ミスしたときのために、部分点を拾えるようにしておくのが大切です。
解答
３
問題
考え方
めぐろ塾の安田一瞬ビビりました(笑)
\(ax+\displaystyle\frac{3}{4}a^2\) を置き換えさせたいのかと思ってしまって…
そんなのいりません(笑)絶対値の中身がフツーに因数分解できるので、
中身の正負で場合分け、\(a\) を使って \(y=f(x)\) を図示
↓
ホントは動くのはグラフだけど、便宜上区間 \(-1≦x≦1\) を動かして最大値の変化で場合分け
とゆ～、めぐろ塾↓のテキストに入れてる問題そのままでした、的中？(笑)
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今年…京大受けた生徒…いないのが悲しい…
計算量も少ないので、見た目に惑わされずに完答したい問題です。
解答
４
問題
考え方
立式しても分かることですが、八進法と十進法で同じ桁数になれば、九進法でも同じ桁数になるに決まってます。
めぐろ塾の安田いっつもめぐろ塾でしてる解説を入れとく↓
後は、
①と②は \(n\) が大きくなると成立しない
↓
①の上限と②の下限から、\(10^{n-1}<8^n\)
↓
常用対数をとって整理すれば、\(n\) の範囲を「絞り込み」できる
とゆ～、整数問題の常套処理で解決できます。これで求まる最大値は \(8^{10}-1\) となりますが、最後にこれが８・９・10進法での10桁の定義式を満たすことを確認するのを忘れないでください。いわゆる十分性の確認ですが、これも整数問題の常套処理。
めぐろ塾の安田個人的には…
\(8^{10}-1\) を具体的に計算する必要はないと思います。
少なくとも試験時間内で僕は計算する気は起きません。これで減点するなら減点しやがれ、こんなんで減点するのバカでしょ、って精神で、めぐろ塾としては計算しない解答とさせて頂きます。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m
解答
５
問題
考え方
京大らしいですが…
めぐろ塾の安田本年2024最後の問題にして、一番カンタンな問題です。
連立した方程式が \(x>1\) に異なる二解を持つ、と言い換えて、↓の記事で紹介している処理を実行するだけ。
場合分けも発生しないサービス仕様です。
最後の面積計算は、解答のように「三角形から放物線と \(x\) 軸の作る面積を引く」と考えるのが良いでしょう。共有点の \(x\) 座標がキレイにならないので、整式の割り算で次数を下げて計算するのが常套です。ただ、整式の割り算を打ち込むのがメンドいので、解答では式計算で代用しています。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m
解答
講評
昨年2023の解説記事も作成しましたが↓
これと比べると…
| 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 記述式 | 120分 | ５問 | 難化 |
です。全問がサービス問題だった去年2023に対し、受験生が既視感を覚えないであろう問題、計算量の多い問題が増えました。
完答しやすいのは３・４・５で、これらをほぼ完答してれば合格最低点は間違いない！
です。ただ、４はｎ進法の桁数問題や整数問題に慣れていない人だと難問に見えてしまうでしょう。４が全然ダメでも、１・２で部分点を拾えていれば十分に戦えると思います。
めぐろ塾の安田でもま～、終わった試験のことは忘れてオッケーです！
受験生の皆さん、今年2024の受験、本当にお疲れ様でした！
どんな結果であろうと、頑張った君の努力は立派です！！胸を張ってください！！！
めぐろ塾の安田僕も旧帝一工最後の東大文系を終わらせたら、ちょっとドヤ顔しときます(笑)
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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！
