2024一橋大【数学】解答速報

2024一橋大学の数学の解答速報をお届けします！

ミスや致命的な間違えを見つけた場合は、TwitterのDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m

１

問題

考え方

左辺のシグマを計算すると、(整数の積)＝(整数の積) の形が作れるので、「素因数の拾い上げ」を行うだけ。ここで、

左辺の因数 \(m\) と \(m+1\) は連続整数
↓
右辺の約数で連続するものを探す

と考えることが大切です。解答では \(m\) と \(m+1\) のどちらかは奇数であることに注目して探しましたが…

一橋の整数問題としてはカンタンな部類ですが、計算は面倒です。僕は見事に計算ミスりました(笑)ご指摘頂いた方、ありがとうございますm(_ _)m

解答

２

問題

考え方

\(y=f(x)\:,\:y=g(x)\) が \(x=t\) で直交する
↓
接線に注目して、\(\begin{equation}\begin{cases}f(t)=g(t)\\f'(t)\cdot g'(t)=-1\end{cases} \end{equation}\)

とゆ～お決まり処理を発動するだけですが…

これさえクリアすれば、

交点の \(x\) 座標がキレイに求まらない
↓
連立した２次方程式の解を \(x=\alpha\:,\:\beta\) とおく
↓
それを使って面積公式　\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)　で面積計算
↓
解と係数の関係で \(\alpha\:,\:\beta\) を消去
↓
ルートの中の \(a\) の２次関数の最小

という、本校受験者であれば何度も経験したことのあるであろう処理のオンパレードです。

もし最初に \(b\) の確定ができなくても、\(x=\alpha\:,\:\beta\) とおいて面積公式を使って解と係数を使う部分は記述し、部分点は確保してください。

解答

３

問題

考え方

文系範囲で対処するとなると、解答のように面倒くさい処理が必要になります。

１つ目の条件から、商の２次式を設定して \(f(x)\) を立式
↓
２つ目の条件で商を確定

しましょう。解答では、２つ目の条件は方程式の解に言い換えて処理していますが、\(f(x)\) を \((x-1)^2\) で割り算して、余りが２としても大丈夫です。

解答

４

問題

考え方

と、2022の４と同じ印象を受けました。

まず、「ひし形ＡＢＣＤ」と言われていないので、各点の位置関係を把握する必要があります。ここで、

ＡとＢは \(z=-1\) 上、ＣとＤは \(z=1\) 上
↓
平行な平面上に２点ずつ存在する

ことに気づけば、これらを \(xy\) 平面から見ることで４点の位置関係が把握でき、対角線が把握できてしまう。そして、対角線の中点が原点であることは明らかなので、対角線を直交させればひし形が作れて終了。(2)は面積を立式したら、(1)の等式から１文字を消去して、ルートの中の４次関数の最小を考えるだけです。

ただ…「同座標を探して同一平面上を見抜く」ってゆ～のは理系の出題として多い処理なので…文系生徒である受験者の出来は良くないと思います。

解答

５

問題

考え方

昨年2023の最後の確率はサービス問題でしたが、今年は難し目。

まずダブルカウントを防ぐため、

分母を \({}_n\textrm{C}_3\) ではなく、１点を固定して \({}_n\textrm{C}_2\) と考える

必要があります。これをクリアしても、

• \(n=2m+1\) とおかないと、とてつもなく混乱する（そもそも正 \(2m+1\) 角形で出題した方が良い気が…）
• 対称線に注目して、シグマの立式が必要になる

とゆ～、高レベルな問題です。

解答のように頂点は \(\textrm{P}_0\) ～ \(\textrm{P}_{2m}\) でおくのが一番混乱せずに解けるんですが、ここまで気づける文系生徒がどれくらいいるものやら…

計算量は少ないんですが、４と同じく受験者の出来は良くないでしょう。

解答

講評

去年2023の解答速報↓

も行いましたが、それと比べると…

でしょう。４と５が結構厳しいと思います。かつ５は部分点が拾いづらい。そして４は「ひし形ＡＢＣＤ」って決めつけちゃった人が部分点をもらえる設計になっているので、決めつけられずに位置関係の把握に努めてタイムロスしてしまった人は可哀想…

「１で計算ミスしても大半の点数は確保」＋「２・３のどっちか完答」くらいはマスト

に思えます。

でも…執筆時は試験１日目の深夜です。明日も試験あるぞっ！頑張れっ！！

まさか受験生が深夜にこれを見てないことを祈ります…夜更かししちゃダメ(笑)

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！