「解と係数の関係」の覚え方

「解と係数の関係」の覚え方
めぐろ塾の安田

むか~し先輩が教えてくれた…

「解と係数の関係」のちょっと面白い覚え方を君にも教えてあげよう!

目次

覚え方:「バカ、バカだ」

2次方程式の解と係数の関係

STEP
係数をa、b、c(アルファベット順)にして2次方程式を作る

\(ax^2+bx+c=0\)

STEP
その解をアルファ、ベータ(ギリシャ文字)とする

の2解を \(\alpha\:,\:\beta\) とすると、

STEP
左に解の基本対称式を書く
めぐろ塾の安田

「基本対称式」を知らない人は、解の1次の和と2次の和を必ずこの順で書くって覚えて!2次の和の取り方は1通り

2次解と係数①
STEP
右は「バカ」
めぐろ塾の安田

バ(ba)カ(ca)」、濁点ついたらマイナスです!

2次解と係数②

以上で全文の完成~

2次方程式の解と係数の関係

\(ax^2+bx+c=0\) の2解を \(\alpha\:,\:\beta\) とすると、

\[\left\{\begin{array}{1}\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\\\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\end{array}\right.\]

3次方程式の解と係数の関係

めぐろ塾の安田

2次のときと全く同じ流れで作れます

STEP
係数をa、b、c、d(アルファベット順)にして3次方程式を作る

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)

STEP
その解をアルファ、ベータ、ガンマ(ギリシャ文字)とする

の3解を \(\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) とすると、

STEP
左に解の基本対称式を書く
めぐろ塾の安田

やはり「基本対称式」を知らない人は、解の1次の和と2次の和と3次の和を必ずこの順で書くって覚えて!3次の和の取り方は1通り

3次解と係数①
STEP
右は「バカだ」
めぐろ塾の安田

バ(ba)カ(ca)(da)」、やはり濁点ついたらマイナスです!

3次解と係数②

以上で全文の完成!

3次方程式の解と係数の関係

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の3解を \(\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) とすると、

\[\left\{\begin{array}{1}\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\\\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\\\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\end{array}\right.\]

丸暗記って必要?

めぐろ塾の安田

使用頻度が高いから丸暗記が必須です。

僕が2023の解答速報を書いた中だけで言っても、

で使ってるので…とんでもなく使用頻度が高い…さらに…

逆に使うことも多いから、全体の暗記も必須

公式なんて式の形だけ覚えりゃいいっしょ~

めぐろ塾の安田

って気持ちは分からなくもないんだけど(笑)
「\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の3解を \(\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) とすると、」ってゆー序文の暗記も必要です。次の問題を考えてみましょう!

問題

次の連立方程式を解け。ただし、\(x≦y≦z\) とする。

\[\left\{\begin{array}{1}x+y+z=9\:\:\cdots①\\x^2+y^2+z^2=35\:\:\cdots②\\xyz=15\:\:\cdots③\end{array}\right.\]

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解説

連立方程式を解くときの基本は「文字消去です。

めぐろ塾の安田

でもこの問題で①から \(z=9-x-y\) で文字消去してみたい人がいたらやってみ。式が複雑すぎて詰むから(笑)

対称式(どの2文字を入れ替えても変わらない整式)」は必ず基本対称式で表せるってゆー性質があるので、①と②から2次の和を求めます。

\[\begin{split}②\:\:&\Leftrightarrow\:\:(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=35\\&\Leftrightarrow\:\:9^2-2(xy+yz+zx)=35\:\:\left(\:∵\:\:①\:\right)\\&∴\:\:xy+yz+zx=23\end{split}\]

めぐろ塾の安田

必ずこの順で」って言った通り。\(x\:,\:y\:,\:z\) の基本対称式を「1次の和と2次の和と3次の和の順」で書き並べましょう!

\[\left\{\begin{array}{1}x+y+z=9\\xy+yz+zx=23\\xyz=15\end{array}\right.\]

めぐろ塾の安田

3次方程式の解と係数の関係」の \(x\:,\:\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) を \(t\:,\:x\:,\:y\:,\:z\) として逆に利用することで、1変数の方程式を作れます!因みに逆に利用する場合は \(a=1\) にするので、必ずこの順で」を守ってれば、\(t^3\) を書いた後に「」で上から順に濁点ついたらマイナスで係数を埋めていくだけって機械作業にできます。

解と係数の関係の逆利用により、\(x\:,\:y\:,\:z\) は、

\(t^3\:\)\(-9\:\)\(t^2\:\)\(+23\:\)\(t\:\)\(-15\:\)\(=0\)

の3解である。

めぐろ塾の安田

後は「1解見つける」→「組み立て除法で因数分解」で3次方程式を解くだけ~

\[\begin{split}&t^3-9t^2+23t-15=0\\\Leftrightarrow\:\:&(t-1)(t^2-8t+15)=0\\\Leftrightarrow\:\:&(t-1)(t-3)(t-5)=0\\&∴\:\:t=1\:,\:3\:,\:5\end{split}\]

\(x≦y≦z\) より、 \((x\:,\:y\:,\:z)=(1\:,\:3\:,\:5)\)  (答)

めぐろ塾の安田

このように逆に使うことも多いし、使用頻度も高いので、「解と係数の関係」は序文まで丸暗記しておく必要があるわけですが…

証明も大事

「因数定理」で証明できることも理解しておく必要があります!

2次方程式

\(ax^2+bx+c=0\) の2解を \(\alpha\:,\:\beta\) とすると、\(ax^2+bx+c\) は \((x-\alpha)(x-\beta)\) を因数に持つので、恒等式

\(a\:\)\(x^2+bx+c=\:\)\(a\:\)\((x-\alpha)(x-\beta)\)

が成立する。

めぐろ塾の安田

「恒等式処理では最高次の係数を合わせる」ことが重要ってのは覚えといて。後は右辺を展開して係数比較すれば覚えた形が出てくるから、自分で確認してみて~

3次方程式

めぐろ塾の安田

2次のときと同様

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の3解を \(\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma\) とすると、\(ax^3+bx^2+cx+d\) は \((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\) を因数に持つので、恒等式

\(a\:\)\(x^3+bx^2+cx+d=\:\)\(a\:\)\(\small{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}\)

が成立する。

めぐろ塾の安田

やはり後は右辺を展開して係数比較すれば覚えた形が出てくるわけですが…何でこんなのおさえとかないといけないかってゆーと…証明が出題されることもあるし…こんなの↓も出題されるから(笑)

2022東京医科大第4問

2022東京医科大第4問
めぐろ塾の安田

「解と係数の関係」を暗記するのは3次方程式までだから…

この問題は「解と係数の関係」の証明を意識して、

\[\scriptsize{x^4-8x^3+cx^2+4x-6=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)}\]

の右辺を展開して頑張るしかありません(笑)因みに「\(\delta\)」は「デルタ」ってギリシャ文字で、複素数平面の問題とかでもたまに登場します。

まとめ

「解と係数の関係の覚え方」は、「」で、濁点ついたらマイナス!

めぐろ塾の安田

極力丁寧に説明してきたつもりだけど…これでもまだ覚えられなかったらめぐろ塾に来なさい↓(笑)

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お問い合わせはお気軽にどうぞ!ミスを見つけた場合のクレームも頂けると助かります(笑)

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

「武蔵小山駅」7分、「不動前駅」9分、攻玉社・小山台高校から徒歩圏内、日本全国どこからでも受講可能!

な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。

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