2024京大【文系数学】解答速報

2024京大【文系数学】解答速報

2024京都大学の文系数学の解答速報をお届けします!

めぐろ塾の安田

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

目次

問題

1問題

考え方

めぐろ塾の安田

3等辺の頂点Oから下ろした垂線の足Hは、底面ABCの外心

なんてのは受験数学での常識です。京大でも2016理系数学3で証明として出題されているくらいですし。

でも京大の空間は歴史的に、図形的にできる問題もベクトルで式的に解決しやすく作問されていることがほとんどなので、解答では、

\(\overrightarrow{\textrm{OA}}=\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{\textrm{OB}}=\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{\textrm{OC}}=\overrightarrow{c}\) と設定し、角度条件から \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\:,\:\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\) を計算

平面のベクトル方程式で、\(\overrightarrow{\textrm{OH}}=(1-s-t)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\) と表す

OH⊥平面ABC を \(\begin{equation}\begin{cases}\overrightarrow{\textrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AB}}=0\\\overrightarrow{\textrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AC}}=0\end{cases} \end{equation}\) で処理して、\(s\:,\:t\) を確定
平面との垂直は、平面を作る2ベクトルとの垂直で処理

これらの結果から \(\left|\overrightarrow{\textrm{OH}}\right|^2\) を計算して、四面体の高さを出す

とゆ~、皆が大好きな方法でやりましが…

めぐろ塾の安田

計算量ハンパない(笑)京大に裏切られました、図形的にいかないと厳しいです。

ま~でも、最終結果の2重根号が外れないことから言って、図形的にやっても計算は楽ではない…僕の解答の方が部分点は拾いやすいので、これでいって計算途中で諦めるのが無難かもしれません。いずれにしても、無理に時間を使って答を当てにいかない方がいい問題です。

解答

1解答①
1解答②

問題

2問題

考え方

めぐろ塾の安田

理系数学の1と類似した問題です。ちょっと理系の出題よりはカンタンめ。

2014早稲田理工でも出題されている立方体の塗り分けの確率です。

めぐろ塾の安田

「場合の数」で出題されることがほとんど。「場合の数」での出題ならば同じものは区別しないので「固定」が必要ですが、「確率」での出題では同じものを区別するので「固定」は必要ありません

各面を区別して、冷静に確率を計算しましょう。「場合の数」での出題に慣れてしまっているので、底面基準で考える解答を作成させて頂きました。解答くらい丁寧な記述を心がけてください。計算ミスしたときのために、部分点を拾えるようにしておくのが大切です。

解答

2解答

問題

3問題

考え方

めぐろ塾の安田

一瞬ビビりました(笑)
\(ax+\displaystyle\frac{3}{4}a^2\) を置き換えさせたいのかと思ってしまって…

そんなのいりません(笑)絶対値の中身がフツーに因数分解できるので、

中身の正負で場合分け、\(a\) を使って \(y=f(x)\) を図示

ホントは動くのはグラフだけど、便宜上区間 \(-1≦x≦1\) を動かして最大値の変化で場合分け

とゆ~、めぐろ塾↓のテキストに入れてる問題そのままでした、的中?(笑)

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今年…京大受けた生徒…いないのが悲しい…

計算量も少ないので、見た目に惑わされずに完答したい問題です。

解答

3解答

問題

4問題

考え方

立式しても分かることですが、八進法と十進法で同じ桁数になれば、九進法でも同じ桁数になるに決まってます

めぐろ塾の安田

いっつもめぐろ塾でしてる解説を入れとく↓

4解説

後は、

①と②は \(n\) が大きくなると成立しない

①の上限と②の下限から、\(10^{n-1}<8^n\)

常用対数をとって整理すれば、\(n\) の範囲を絞り込み」できる

とゆ~、整数問題の常套処理で解決できます。これで求まる最大値は \(8^{10}-1\) となりますが、最後にこれが8・9・10進法での10桁の定義式を満たすことを確認するのを忘れないでください。いわゆる十分性の確認ですが、これも整数問題の常套処理。

めぐろ塾の安田

個人的には…
\(8^{10}-1\) を具体的に計算する必要はないと思います。

少なくとも試験時間内で僕は計算する気は起きません。これで減点するなら減点しやがれ、こんなんで減点するのバカでしょ、って精神で、めぐろ塾としては計算しない解答とさせて頂きます。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m

解答

4解答

問題

5問題

考え方

京大らしいですが…

めぐろ塾の安田

本年2024最後の問題にして、一番カンタンな問題です。

連立した方程式が \(x>1\) に異なる二解を持つ、と言い換えて、↓の記事で紹介している処理を実行するだけ。

場合分けも発生しないサービス仕様です。

最後の面積計算は、解答のように三角形から放物線と \(x\) 軸の作る面積を引くと考えるのが良いでしょう。共有点の \(x\) 座標がキレイにならないので、整式の割り算で次数を下げて計算するのが常套です。ただ、整式の割り算を打ち込むのがメンドいので、解答では式計算で代用しています。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m

解答

5解答

講評

昨年2023の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

解答方式試験時間大問数難易度
記述式120分5問難化

です。全問がサービス問題だった去年2023に対し、受験生が既視感を覚えないであろう問題、計算量の多い問題が増えました。

完答しやすいのは3・4・5で、これらをほぼ完答してれば合格最低点は間違いない

です。ただ、4はn進法の桁数問題や整数問題に慣れていない人だと難問に見えてしまうでしょう。4が全然ダメでも、1・2で部分点を拾えていれば十分に戦えると思います。

めぐろ塾の安田

でもま~、終わった試験のことは忘れてオッケーです!

受験生の皆さん、今年2024の受験、本当にお疲れ様でした!

どんな結果であろうと、頑張った君の努力は立派です!!胸を張ってください!!!

めぐろ塾の安田

僕も旧帝一工最後の東大文系を終わらせたら、ちょっとドヤ顔しときます(笑)

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ!

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

「武蔵小山駅」7分、「不動前駅」9分、攻玉社・小山台高校から徒歩圏内、日本全国どこからでも受講可能!

な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。

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