2024慶應経済【数学】解答速報

2024慶應義塾大学経済学部の数学の解答速報をお届けします！

解答→講評→問題→考え方の順で打ち込んだため、時系列が若干おかしい部分があります。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m

[1]

問題

考え方

(1)は、

解と係数の関係で \(mn+m+n\) を計算
↓
頻出系の２変数１次不定方程式なので、因数分解して素因数の「拾い上げ」

です。

(2)は何も考えず誘導に従えば良いでしょう。問題文の指定通り、\(\displaystyle\frac{x}{x^2+1}\) を \(\sin2\theta\) で、\(\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\) を \(\cos2\theta\) で表し、

\(y=\displaystyle\frac{x^2+3x+5}{x^2+1}\) は (分子の次数)≧(分母の次数)
↓
(分子)÷(分母) というお決まりを発動すれば、\(y\) が同角１次式になる
↓
合成（合成角分からないタイプ）して、最大・最小

という典型内容です。

(1)・(2)共に、同様の問題をテキストに入れているめぐろ塾↓的中！

今年のセットで言えば共に完答はマストですが、最後の方でちょろっと計算ミスするだけなら大丈夫だと思いますよ(笑)

解答

[2]

問題

考え方

１回の試行で、\(\displaystyle\frac{1}{6}\) でＡが、\(\displaystyle\frac{1}{3}\) でＢが、\(\displaystyle\frac{1}{2}\) でＣが袋からカードを非復元抽出するだけです。

(1)は、１回の試行で「Ｂが選ばれない」または「Ｂが選ばれて３の倍数を引く」。

(2)は、２回の試行で２人が選ばれる。

(3)は、Ａが「１回で５点以上」または「２回で５点以上」で排反分け。

(4)は、(3)のＡが「１回で５点以上」の場合から３回で全員が５点以上の確率を計算し、(3)の結果で割ります。

思考的には平坦な問題ですが、計算量は少なくありません。計算ミスの確認をしている時間的余裕のある試験でもないので、

って気持ちで気楽に解きましょう。(3)くらいまで当たってれば十分です。

解答

[3]

問題

考え方

(1)は恒等式の計算。

(2)は \(f(a)=b\) を \(2^a=A\) で表し、分母を払って \(A\) の２次方程式にするだけ。理系のカテナリー系の問題で頻出の処理なので、理系からの受験者が有利だったかもしれない。

①と③から、\(f(a_n)=f(3a_{n+1})\) を作る
↓
\(f\) の中を比較して、\(a_n=3a_{n+1}\) を立式

するんですが、そもそも前者の難易度が高いです。さらに後者の処理は頻出処理ではないので…

って思っちゃいましたね(笑)(2)の問題文の「任意の実数 \(b\) に対して \(f(a)=b\) となる実数 \(a\) が、ただ１つ定まる」という文章が、この処理の正当性を保証しているんですが…ここまで気づける人がどれくらいいるものやら…

でも(3)が解けてなくても(4)の前半は解けます！ここは是非とも拾いたい。後半は計算量も多いんで、外しちゃって良いでしょう。

部分的に拾えてれば、完答できなくて良い問題に思えます。

解答

[4]

問題

考え方

(1)は、「正四面体の高さの足は、底面の重心」という性質を使って終わり。

(2)は、

点Ｈが直線ＤＧ上であることから、直線のベクトル方程式で未知数１つで媒介変数表示
↓
点Ｈが平面ＡＢＣ上であることから、平面のベクトル方程式で未知数２つで媒介変数表示
↓
\(x\:,\:y\:,\:z\) 成分を比較し、連立方程式を立式

という典型処理。

(3)のＩやＪも(2)と同様の手順で出せますが…

空間の問題における凡人戦略は、なるべく立体図を描かず、立体はイメージせず、式でゴリ押すことです。解答はこの原則に従い、

Ｉまで式でゴリ押し
↓
Ｊは全体的な座標の平面 \(y=0\) の対称性から、Ｉと \(y=0\) 対称であることを見抜く
↓
四角錐の高さが平面 \(y=0\) 上に乗るので、ヘッセの公式で計算

としましたが、登場する点が多すぎるので、\(y=0\) 対称を見抜く難易度が高い…

試験全体を考えると、(1)だけ解いて、計算量的に(2)以降はスルーしちゃうのが賢明だったかもしれません。(3)まで試験時間内に解けた人っているんですかね？ちょっとこの問題の受験者の出来が知りたいです(笑)

解答

[5]

問題

考え方

ムズそうに見える問題ですが、今年の大問の中では一番カンタンな問題でした。

(1)は、\(\alpha=\log_{4}\displaystyle\frac{x}{8}-m\) に対数法則を使うだけ。これが(2)のヒントになっています。(1)と同様に \(\beta=\log_2\displaystyle\frac{8}{x}-n\) にも対数法則を使って \(\log_2x\) を表し、これを消去することで、\(2\alpha+\beta\) が整数であることが分かり、整数問題に持ち込める設計。この後、

\(\alpha\) と \(\beta\) は、\(\log_4\displaystyle\frac{x}{8}\) と \(\log_2\displaystyle\frac{8}{x}\) の小数部分
↓
\(0≦2\alpha+\beta<3\) から範囲の「絞り込み」

と見抜くところが鬼門ですが、整数問題に慣れている人であれば難なくクリアできるでしょう。

(3)では、(2)の結果と \(n=m-1\) から、整数 \((m\:,\:n)\) の組み合わせ３つを求めます。ここで、

各 \((m\:,\:n)\) の組について、正の実数 \(x\) の存在確認が必要
（十分性の確認）
↓
(4)でこの作業が必須になる

ので、失念する人はいないでしょう。そこそこ計算が面倒ですが、しっかりと確認してください。解答のように、(3)の時点でこれを行うのが一番ですが、(4)の時点で実行しても減点は喰らわないと思います。

解答

[6]

問題

考え方

カンタンそうに見える問題ですが、計算が大変です。

(1)は、\(f'(x)=0\) が \(x=p\:,\:-4p\) を解に持つことと \(f(-2p)=0\) から \(a\:,\:b\:,\:p\) の連立方程式を作成して解く。後は \(f(x)\) の増減表を作るだけ。

(2)は、(1)で把握できる \(y=f(x)\) のグラフの \(x\) 軸より下を折り返し、場合分けして最大・最小を求めるだけ。

(3)は、(2)の結果を用いて定積分計算。場合分けの２つは長方形面積として計算できます。

• (1)の時点でそこそこ計算ボリューミー
• (2)で、問題文の「\(f(-2p)=17\)」がヒントってことに気づかないと、場合分けの変わり目の計算が増える
• (3)の定積分の端が０でないので、計算量が多い

ってことで、「80分試験の大問６つの中の１つ」＝「13分程度しか使えない」で完答するのは厳しい問題に思えます。解答では(2)で \(|f(5)|<39\) をある程度しっかり計算しましたが…

って感じで、少しでも時短しましょう。(3)の立式までいけば大成功です。

解答

講評

• マークのさせ方の特殊性
• 選抜方法の特殊性
• 慶應経済の数学の戦略

について2023の解答速報↓で詳しく解説しておりますので、併せてご参照くださいm(_ _)m

これを前提とした上で2024の講評を。去年2023と比べると…

出題範囲に関しては、去年2023と類似していました。各大問の難易度を比較すると、次のようになります。

出題範囲	難易度比較	コメント
小問集合	2024[1]＜2023[1]	去年よりカンタン。
確率	2024[2]≒2023[3]	去年よりカンタンだが、計算ミスは起こりやすい。
数列	2024[3]＞2023[2]	去年より難易度が高い、誘導が受け取りにくい。
空間	2024[4]＞2023[5]	去年より計算量も多く、難易度も高い。
対数関数	2024[5]＜2023[4]	去年より計算量は減ったが、 整数と絡んでるので解法に迷う。
グラフと求積	2024[6]＞＞2023[6]	計算量が増えた。

カンタンに言えば、「マーク式部分の難易度は去年と同程度、記述式の難易度が上がった」という感じです。

まず、第１段階選抜突破には、[1]の完答・[2]の(2)までの獲得は必須に思えます。[3]は部分的に拾えてれば大丈夫でしょう。

個人的に鬼門に思えたのは、記述式のカンタンな問題が見抜きにくく、全体の点数が整えにくかったであろうところです。結果論から言えば[5]がカンタンなんですが、ムズそうに見えちゃう問題なので冷静に選べた人は少なそう。

ま～でも受験生の皆、慶應の経済のことはもう忘れよう！

慶應商を併願してる人も多いのでは？連日でもう今日試験です！切り替えて頑張って！！

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！