2024慶應理工【数学】解答速報

2024慶應理工【数学】解答速報

2024慶應義塾大学理工学部の数学の解答速報をお届けします!

めぐろ塾の安田

人員不足のため、一人で孤独にやりました(笑)

速報中にミスをご指摘頂いた方に、厚く御礼申し上げますm(_ _)m

目次

問題

1問題

考え方

(1)の(ア)は問題ないでしょう。解答では、

6番目に小さいものを求める

それで2024を割ることで、6番目に大きいものを求める

というように約数の対称性を利用しましたが、当たってればど~でもいいです(笑)

(イ)については…

2024の6乗根の負の方に対する配慮が問題文で足りてなくね?

めぐろ塾の安田

とかは試験中には考えないように!
ノリ的に正の方が話題になってるのは明らかでしょう。

\(3^6<2024<4^6\) より、答は3か4のどっちかです。\(3.5^6=\left(\displaystyle\frac{7}{2}\right)^6\) と2024の大小を比較して終了。解答では \(7^2=49<50\) という評価で効率的に計算していますが、根性計算でもいいんでしっかり当ててください。

めぐろ塾の安田

(2)はそこそこムズイですね…

帰納法を使うことは明らか

\(n=k\) のときの仮定の式を与不等式に代入して同値変形、漸化式の利用

というお決まりで上からの評価はすぐに終わるんですが、下からの評価で \(a_k≧a_1\) と \(a_1≦2\) の両方を使うところの難易度が高いです。ここさえクリアすれば、

\(2-a_n\) のカタマリが大事

解けない漸化式で表された数列の極限

等比型の漸化不等式

\(2-a_{n+1}≦●(2-a_n)\)(ただし、\(0<●<1\)
を導く

繰り返し利用して、はさみうちの原理

ってゆ~典型処理でいけるんですが、最初の小問集合の後半としてはキツい内容…

(1)を完答、(2)は(ⅰ)の帰納法証明で上からの評価さえ成功してれば及第点だと思います。

解答

1解答①
1解答②

問題

2問題

考え方

(1)は、「タイプⅠのコインを取り出す」または「タイプⅢのコインを取り出して、Hが出る」ってだけ。

(2)は、(1)の結果を利用して、「後者/(1)全体の確率」ってするだけ。

(3)も、(1)と(2)の流れを自分でやるだけ。「タイプⅡのコインを取り出してTが2回出る」+「タイプⅢのコインを取り出してTが2回出る」確率で、前者の確率を割りましょう。

(4)は、「2回投げてコインのタイプ分かる」=「HとTが両方出てタイプⅢって分かる」ってだけ。

(5)は、(4)のノリから余事象を使うのが良いでしょう。「ずっとH」+「ずっとT」の確率を1から引いて終わり。

めぐろ塾の安田

完答がマストの問題でしょう。
過去の慶應理工の確率の問題で最もカンタンな部類です。

解答

2解答①
2解答②

問題

3問題

考え方

めぐろ塾↓の授業で最も自信がある典型内容の1つ絶対値関数の定積分の内容です。

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今年のめぐろ塾受験学年…文系ばっかりで誰も慶應理工受けてないけど(笑)

めぐろ塾の安田

とゆ~わけで、「例年僕が教えてる中で優秀な理系生徒」=「めぐろ塾の生徒」と仮定し、その子へのアドバイス的な感じで解説すると…

(1)は、めぐろ塾生なら「\(y=f(x)\) と \(y=ax\) が共有点を持たないとき」って一瞬で読み取って瞬殺です。

(2)は、めぐろ塾生は真面目すぎるので微分しちゃいそうで心配です(笑)\(f(x)\) は微分可能って言われてないので、微分せずに増加・減少を言わないとダメ。ま~でも微分して減点喰らっても及第点だぞ、凹むな!めぐろ塾生!!

(3)は、交点を持つときに決まってるから、めぐろ塾生なら絶対値の正負で \(t\) を境に場合分けして立式するのは一瞬!後は積分計算するだけだっ!

めぐろ塾の安田

因みに僕はここで計算ミスしちゃって、(6)は脱落…
ご指摘頂いた方に厚く御礼申し上げますm(_ _)m
師=僕を超えていけ!めぐろ塾生!!(笑)

(4)は、めぐろ塾生なら平均値の定理を使うのには一瞬で気づけるはず!

(本問では \(x\) と \(t_0\))の大小が決まっていない場合

「(\(x\) と \(t_0\) の)間に存在」って記述する

って授業してるよな!だったら \(x\) と \(t_0\) の大小での場合分けに気づけるはずだっ!完勝!!

(5)は、因数分解して式を簡略化、微分して証明するだけ!理系専用第4章§5のフローチャート通りだなっ!完勝!!!

めぐろ塾の安田

ところで…めぐろ塾生…そろそろ疲れてきたんじゃないか?(笑)

問題長ぇ~よな、もう(6)は当てカンでいいぞ!何か(3)からのノリで、\(a=\displaystyle\frac{f(●)}{●}\) を書いときゃ良くね?答のみ解答だし。先生ちゃんと証明したけど、マジだるかったよ(笑)(3)の \(q(x)=0\) となる \(x=\sqrt{5}\) を \(●\) に書いとこ!先生は(3)で計算ミスしたせいで外しちゃったけどね!師=僕を超えていけっ!!

設問が6つもあり、計算も面倒なので、時間内完答は厳しいと思います。部分的に5~6割解答できていれば及第点です。

解答

3解答①
3解答②
3解答③

問題

4問題

考え方

(1)の最初はこの公式使うだけ。\(\overrightarrow{\textrm{CH}}\) のとこは、

平面のベクトル方程式で、\(\overrightarrow{\textrm{OH}}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}\) と表す

CH⊥平面OAB を \(\begin{equation}\begin{cases}\overrightarrow{\textrm{CH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OA}}=0\\\overrightarrow{\textrm{CH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OB}}=0\end{cases} \end{equation}\) で処理して、\(\alpha\:,\:\beta\) を確定

平面との垂直は、平面を作る2ベクトルとの垂直で処理

ってお決まり処理。最後は \(\left|\overrightarrow{\textrm{CH}}\right|\) を2乗して四面体の高さを計算するだけ。

(2)の最初は \(t\) を使って \(\overrightarrow{\textrm{JI}}\:,\:\overrightarrow{\textrm{JK}}\) を \(\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{c}\) で1次結合して、内積を計算するだけ。次はまたこの公式

(3)は1次結合<解法2>です。\(t\) 以外に3つの文字を設定しますが、辺DEと共有点を持つ」と言われているので、直線DEを表すのに用いる未知数(解答での \(m\))には0以上1以下という条件が付きます。これによって \(t\) の範囲を求めましょう。

全ての設問が典型的内容なので、完答したい問題です。

解答

4解答①
4解答②
4解答③

問題

5問題

考え方

数学できる人であれば、図を見て、

やったぁ~!サービス問題だー!!

と思えるでしょう。大学受験での超典型内容である、

  • 定円の外側で円を回したときの軌跡 → エピサイクロイド
  • 定円の内側で円を回したときの軌跡 → ハイポサイクロイド

のうち、後者です。

めぐろ塾の安田

複素数平面で出題されるのは目新しい。でも、ハイポサイクロイドの演習を十分に積んでる人であれば処理に迷うことはないでしょう。

複素数」と「ベクトル」は、和・差・実数倍では完全対応することを意識し、

半径比は、回転角の比となる

円の中心を経由して「ベクトルの和でつなぐとゆ~お決まりを、「複素数で代用

するだけで(2)まで終了です。めぐろ塾ではエピ・ハイポ共に半径比「1:1」~「1:4」くらいまで4回ずつくらい授業で演習させるんですけどね…受験者の皆さんもそれくらいやってることを祈ります。

(3)は、(2)で媒介変数表示ができていることを意識し、曲線の長さ」の公式を使うだけ。速さを積分するってだけの公式ですが、その都度導けば良いです。知らなかった人のために、めぐろ塾のプリント載せときます↓(笑)

5解説

(4)はそこそこムズいですね。

n番目のサイクロイドに注目して、不等式を作成

はさみうちの原理

です。「絶対値関数の定積分と極限」の問題とかで \(\sin\) のグラフの一山(一谷)分に注目する、ってゆ~経験が十分にないと思いつきづらいと思います。ま~(4)は外しちゃっても良いでしょう。(3)まででできてれば及第点です。

解答

5解答①
5解答②

講評

去年2023の解答速報↓

も行いましたが、それと比べると…

解答方式試験時間大問数難易度
答のみ解答、
一部(主に証明)記述式
120分5問やや易化

に思えます。1の難易度は今年の方が高いですが、去年の3(3)のように…

めぐろ塾の安田

これはムリだろ…

って思うような問題はありませんでした。今年で一番難易度が高いのが3ですが、論証部分が微妙でも、テキトーに考えて最後の答は当てられます。この意味でこれは去年の2に近い。

他の大問は去年よりカンタンです。でも120分だと厳しいテストってのは変わらないので、合格最低点とかは去年とさほど変わらないかと思います

2の確率は異様にカンタンなので、この完答はマスト4も典型で計算量も多くないので、この完答もマストです。1(1)も取りこぼさないように

これプラス5が八割方できた~」だと、合格最低点には確実に届くと思います。ただ5はハイポサイクロイドと複素数平面の融合で目新しいので、ハイポサイクロイドの処理が完璧に習得できてない人には厳しかったでしょう。ここダメでも、「1(2)とか、3である程度点数拾えた」とかで戦えるので、凹まないように!

めぐろ塾の安田

っつ~かもう慶應理工のことは忘れて良し!(笑)

我が母校の早稲田理工の試験が控えてるぞっ!!

それに向けて勉強頑張ろう!!!

めぐろ塾の安田

めぐろ塾でも速報予定です!ムズかったら受験生の君たちより僕の方が地獄…
大丈夫、君は一人じゃない(笑)

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ!

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

「武蔵小山駅」7分、「不動前駅」9分、攻玉社・小山台高校から徒歩圏内、日本全国どこからでも受講可能!

な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。

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