2023阪大【文系数学】解説・解答・講評

2023阪大【文系数学】解説・解答・講評

2023大阪大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします!

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

目次

問題

1問題

考え方

2倍角の公式を使って \(\sin\theta=t\) とおくことで、2次方程式の問題にできます。

めぐろ塾の安田

このとき、\(-1≦t≦1\) というように変域をチェックするのを忘れないようにしましょう!

結局 \(-1≦t≦1\) に \(f(t)=2t^2+at+b-1=0\) が実数解を持つ \(a\:,\:b\) の条件の図示という2次方程式の解配置問題となり、\(y=f(t)\) と \(t\) 軸が \(-1≦t≦1\) に共有点を持つときを考えるわけですが、\(y=f(t)\) のグラフの状態がたくさん考えられてしまうので、

\(y=f(t)\) の軸 \(t=-\displaystyle\frac{a}{4}\) が解の区間 \(-1≦t≦1\) に含まれるかで場合分け

するのが一番簡単で…

めぐろ塾の安田

めぐろ塾↓では授業で時間かけて2回扱うので的中!!

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ま~「的中」って喜べないような有名内容ではありますが(笑)軸が区間内に含まれる場合の端点値条件「\(f(-1)≧0\) または \(f(1)≧0\)」の導出はド・モルガンの法則でやっときました、この説明が生徒の反応が一番いいんで(笑)

因みに本問の「2次方程式の解配置問題」部分以降は、

\(t\) が \(-1≦t≦1\) を動くときの直線 \(y=-tx+1-2t^2\) の通過領域を図示せよ

というように直線の通過領域の問題として書き換えることもでき、図示結果は一致します。

めぐろ塾の安田

こっちの方が良く出題されますね。この場合、判別式条件から出てくる放物線は「包絡線」と呼ばれます。

結局この系統の問題で面倒かつミスが発生しやすいのは図示部分なんですが、

端点値条件 \(f(-1)\:,\:f(1)\) から出てくる直線は「包絡線」と必ず接し、
「包絡線」上を滑らせた領域が正解

図示テクニック

であることを知っておくと、図示スピードが格段に上がり、ミスもなくなります。

解答

1解答①
1解答②

問題

2問題

考え方

(1)は底の変換公式 \(\log_ab=\displaystyle\frac{\log_cb}{\log_ca}\) を使って \(a\:,\:t\) で表すだけ。

(2)は(1)で \(t\) の3次関数が立式できているので、やはり問題1と同様に \(-1≦t≦3\) というように変域をチェックすれば、「文字定数 \(a\) 入りの高次関数の最大値」という有名内容になるわけですが…

めぐろ塾の安田

うわ、簡単じゃん!って思ったら、この後はそこそこムズかった(笑)

こーゆー系統の問題って、

グラフを固定して、区間 \(-1≦t≦3\) を左右に動かす

って考えれば何とかなることがほとんどなんですが、この問題は最大値の候補点の上下の動きも複雑なんで、

\(f(2a)\) が候補に含まれるかを左右で場合分けしたら…

各場合分けで、候補点の大小を差の正負で判断
候補点比較法

する必要があります。

めぐろ塾の安田

\(f(2a)-f(-1)\) に2乗のカタマリができて差の正負が判断しやすいってナイス作問なんですけどね、受験者の出来はあまり良くなさそう(笑)

解答

2解答①
2解答②

問題

3問題

考え方

めぐろ塾の安田

理系数学との共通問題。キレイな解答を作りたいのであれば、どの2つのベクトルを基準で考えるかが大切な問題です。

対称性からして、僕の解答のように \(2\overrightarrow{\textrm{OA}}+\overrightarrow{\textrm{OB}}=\overrightarrow{\textrm{OC}}\) と \(\overrightarrow{\textrm{OA}}+2\overrightarrow{\textrm{OB}}=\overrightarrow{\textrm{OD}}\) を基準とするのがベストでしょう。

これで、もう1つ登場している \(\overrightarrow{\textrm{OA}}+\overrightarrow{\textrm{OB}}\) も、

\[\overrightarrow{\textrm{OA}}+\overrightarrow{\textrm{OB}}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{\textrm{OC}}+\overrightarrow{\textrm{OD}}}{3}\]

と表すことができます。

これで序文で与えられた2式から(1)で要求されている \(\overrightarrow{\textrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OD}}=0\) となることが分かるわけですが…

めぐろ塾の安田

(2)の2式のうち、前者は円のベクトル方程式であることは明白ですが、後者の式は有名な形ではありません

\(\textrm{P}(x\:,\:y)\) として内積計算に持ち込まないとムリ

座標平面に対応させるために、(1)から \(\textrm{C}(1\:,\:0)\:,\:\textrm{D}(0\:,\:1)\) とおく

部分の難易度は結構高いです。

めぐろ塾の安田

試験時間長いんだし、キレイな解答にこだわっちゃダメ!

\(\overrightarrow{\textrm{OA}}\) と \(\overrightarrow{\textrm{OB}}\) を基準としちゃっても、ガシガシ計算すれば(2)の前者の式の特徴までは解答できます。ここまでできてれば6割程度の点数はもらえて及第点でしょう。

解答

3解答

講評

解答方式試験時間大問数難易度
記述式90分3問難化

阪大文系数学は、この4年間、

2020鬼カンタン → 2021そこそこムズイ → 2022カンタン → 2023そこそこムズイ

ってジグザグで難易度が推移しています。

めぐろ塾の安田

特に2020のカンタンさは異常で、計算力おじいちゃんの僕が3問で20分かからずに終わって、「何かあったのか?」って思ったくらいでした(笑)

今年は、

  • 問題1は典型だが、処理量が多い
  • 問題2は典型に見えて、候補点を比較しなきゃムリ
  • 問題3は座標平面に対応させるところが鬼門

ってことで、そこそこ解き応えがありました。大問1つ辺り30分使える試験時間からして、文系でも優秀な生徒は満点近くとれる内容です。2023は数学でかなり差がつきやすかった年と言えるでしょう。

2024の阪大文系数学を受験する数学苦手な人、

ジグザグ難易度なら2024はカンタンじゃ~ん!

って喜ばないこと(笑)

2019はカンタンだったので、ジグザグで難易度が続くとは限らないし…

めぐろ塾の安田

阪大だよ!?カンタンって言っても、数学苦手じゃ立ち向かえないレベル!

しっかり数学の勉強頑張ってください!!

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ!

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

「武蔵小山駅」7分、「不動前駅」9分、攻玉社・小山台高校から徒歩圏内、日本全国どこからでも受講可能!

な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。

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