2026京大【理系数学】解答速報

2026京都大学の理系数学の解答速報をお届けします！

１

問題

考え方

微分＋増減表で、\(y=f(x)\) のグラフを描く
↓
\(y=k\) を上下させて、共有点が２個の \(k\) の範囲を \(a\) で表す
↓
その不等式条件を \(ak\) 平面上に図示

という、極めて典型的な流れの問題です。微分計算がダルいのを我慢して、しっかり \(y=f(x)\) の増減表を作りましょう。

最終的な \(ak\) 平面への図示も、

• 両方とも減少で描きにくい
• 片方は \(x=1\) が漸近線になりやがる
• 上下の言及とかするべき？（解答の \(g(a)\) のとこ）

で色々ムカつきますが、冷静に図示してください。ってか \(k\) の範囲を \(a\) で表すとこまで確保してれば及第点に思えます。

解答

２

問題

考え方

解答のように、

点Ｐから辺ＢＣへの
最短距離より球の半径を短く　→　外離
最長距離より球の半径を長く　→　内包

とするのが良いでしょう。

点Ｐが「辺ＯＡのどこにあっても、」と言われている
↓
ＯＰを変数とし、
最短距離の最小より短く・最長距離の最大より長く

します。

全く解きやすい問題ではありませんが、球と線分の共有点の存在系の問題の出題は、そこまで稀でもありません。慶應ＳＦＣなんかのイメージが強いですが…計算量が少ないので、何とか完答までいって欲しい問題。

解答

３

問題

考え方

そしたら偶数次と奇数次で分けられて、

１次の係数が \(2^{n+1}\) になることが分かる
↓
最大の \(m\) は \(n+1\) であることが分かる
↓
後は全ての項が \(2^{n+1}\) で割り切れることを示すだけ

ってことで…

って喜んでたら…

その後…地獄にハマりました…

二項定理で展開した、二項係数が \(2^{n+1}\) で割り切れることを証明
↓
多分…ムリ…

泣きそうになりながら、改めて…

全体で帰納法証明を考える
↓
\(n=k+1\) のときの \((x+1)^{2^{k+2}}-(x^2+1)^{2^{n+1}}\) には…
↓
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) という最も基本的な因数分解公式で、
\(n=k\) のときの \((x+1)^{2^{k+1}}-(x^2+1)^{2^{n}}\) が作れる

ってことに気づけたらあっさり証明できましたが…

試験時間内に解けた人は、プロ講師＝めぐろ塾の安田超えです。おめでとうございますm(_ _)m

解答

４

問題

考え方

外側正三角形が最小になるときなんて、この返上に内側正方形の辺や頂点が乗るに決まっているので、

(Ⅰ)　正方形の辺が正三角形の辺に乗るとき
・
(Ⅱ)　正方形の頂点のみが正三角形の辺に乗るとき

でいいとも思います。しかも、ど～せ一般証明で(Ⅱ)の場合がメインになるので、

(Ⅱ)の場合で、正三角形の正方形に対する斜角を \(\theta\) と設定して正三角形の一辺の長さを立式
↓
その最小を考えると、(Ⅰ)の場合も考察できてしまう

また、なんか条件反射で \(\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta\) って変形しちゃって、合成で三角関数の最小を考えちゃったんですが、解答打ち込み後に他の解答速報さん見たら、この変形をせずに和積公式でやってて、こっちの方が全然カンタンでした(笑)

完答はキツいかもしれません。正三角形の斜角設定からの一辺の長さの立式までの部分点は拾って欲しい問題。

解答

５

問題

考え方

回転軸をまたぐ領域の回転体
↓
回転軸に対称に片側を折り返す

ってのを常識とした上で、解答では、

領域 \(D_a\) が原点対称であることを証明し、\(0≦x≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) で考える
↓
片方が常に上であることを証明
↓
下の方を折り返したものとの上下は、\(a\) と \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) の大小で入れ替わる
↓
場合分けするが、各場合で上下は一定

としましたが…

↑のように、\(x\) 軸との交点 \(±a\) の位置を考えれば…

何か \(a\) と \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) の大小で場合分けが必要っぽい
↓
各場合で、上と、下を折り返したのの上下変わったら定積分が複雑になりすぎる
↓
各場合で、その上下関係は一定

ってストーリーは読めていくと思います。論証は甘くてもいいんで、これらに気づけてるってことは採点者に伝えられる解答を目指しましょう。

最後の定積分計算もそこそこ代入がメンドウなので、各場合の定積分の立式までの部分点が拾えれば大成功な問題です。

解答

６

問題

考え方

最後の最後にして、圧倒的点取り問題来たる！めぐろ塾↓

の期待値のテキスト↓

の枚数を抽象値 \(n\) にして、取る枚数を増やしただけの問題。

歴史的に、京大は一番最後の問題が一番カンタンなことも少なくありません。過去問対策でこ～ゆ～ことを知っていた人が有利かとは思います。今年のセットで言うと、完答はマストな問題です。

解答

講評

去年2025の解答速報↓

も行いましたが、それと比べると…

かと思います。何とも完答しにくいセットが並びました。

論証不備で減点されそうな問題も多いです…

６は完答・１は \(k\) の範囲当てる・２は答当てるが大事なテスト！

だったかと思います。後は部分点を拾い集めてれば、充分に戦えるでしょう。

前期で受験終わりって受験生の人、本当に一年間お疲れ様でした！

後期受けることになった人、もうすぐ試験だ！！ラストスパート頑張れっ！！！

めぐろ塾より、もう遅報となってしまう記事を投稿しながら、頑張る君を応援しておりますm(_ _)m大丈夫！君は一人じゃない(笑)

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！