2024千葉大【理系数学】解説・解答・講評

2024千葉大【理系数学】解説・解答・講評

2024千葉大学の理系数学の解説・解答・講評をお届けします!

目次

千葉大の数学の特殊性

↑でもお話ししているんですが…

千葉大の数学の入試では、
文系数学と理系数学が同じ冊子で配られる!

めぐろ塾の安田

ことは、千葉大を受ける人は覚えておいてください
かつ…

理系数学では、学部・学科によって解く大問が変わる!

ことになるので、理系の人は解く大問を間違えないように気を付けましょう

2024では以下の通りです。

学部・学科等解答する問題番号試験時間
教育学部(中学校コース数学科教育分野)3~8の6問150分
理学部(物理学科、化学科、生物学科、地球科学科)
工学部
情報・データサイエンス学部
園芸学部(園芸学科、応用生命科学科、緑地環境学科)
薬学部
先進科学プログラム(物理学関連分野、工学関連分野、情報・データサイエンス関連分野)
4~8の5問120分
理学部(数学・情報数理学科)4~9の6問180分
医学部5~9の5問120分

本記事では理系数学を対象とするので、大問4~9の解説・解答・講評となります。

教育学部(中学校コース数学科教育分野)を受験する人は、大問3については文系数学の記事をご覧ください。

問題

4問題

考え方

めぐろ塾の安田

小問集合です。

(1)は部分積分を2回使うだけ。解答では「0~ \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)」をたくさん書かないで済むように、不定積分を計算してから代入していますが、答あたってればど~でもいいです(笑)でも、計算ミスったときのために、「部分積分法を2回用いると、」とかは書いておいた方がいいと思います。

(2)は図とか描いちゃダメ!ただの複素数平面での \(±\displaystyle\frac{\pi}{3}\) 回転なので、回転中心を一番カンタンな \(\textrm{Q}(-1)\) にして、極形式での掛け算で片付けましょう。

めぐろ塾の安田

(3)はそこそこムズイです。

最初の段階で、

与等式から \(_{q}\textrm{C}_1>0\) を削除すれば、\({}_p\textrm{C}_2=n\)

\({}_m\textrm{C}_2≦n\) を満たす最大の \(m\) は \(p\) っぽい

って気づいておかないと、お話になりません。そして、

  • 論証に \(p>q\) と与等式からの、範囲の絞り込み」が必要
  • \(x(x+1)\) の増加を断らないとダメ
  • 最大値の定義に則り、等号の成立を断らないとダメ

なので、完答できた人は少なそう。上記3つには全て部分点が配置されていると思いますが、下2つとかが微妙でも、答が当たってれば大成功な問題でしょう。

解説

4解答

問題

5問題

考え方

(1)は、

めぐろ塾の安田

高さは1だから、底辺の長さを \(k\) にするだけ!

なんですが…

\(k\) が0以上の整数」としか言われていない

(Ⅰ) 面積0 or (Ⅱ) 面積発生 or (Ⅲ) そんな面積作れないよ
での場合分けが必要

です…正直(Ⅲ)は失念しちゃっても(2)はいけるんですが、(Ⅰ)は(2)に影響してしまうので、ここだけは気づきたい。

(2)は、(1)の結果の利用を考えれば、\(n\) の偶・奇で場合分けすることには気づけるでしょう。

めぐろ塾の安田

正直、気合を入れて計算するのは \(n\) が偶数の場合のみでオッケーです。

収束するに決まってる(振動するわけない)ので、奇数の場合も同じ結果になるに決まってます。気楽に計算しましょう(笑)

解説

5解答①
5解答②

問題

6問題

考え方

めぐろ塾の安田

理系全体での共通問題ですが、一番カンタンな問題に思えます。

「値が汚い」以外の山場が全くない問題なので。

(1)は、微分して増減表。(2)は、\(e^x=t\) と置き換えて3次方程式を解くだけ。(3)は、図示もいらないただの \(x\) 軸回転体の体積計算。

めぐろ塾の安田

因みに(3)は \(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) の2乗・4乗は次数下げで計算しています。めぐろ塾↓で生徒に徹底させているので。

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めぐろ塾の安田

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ただ…偶数乗だけなので…フツーに根性計算の方が楽かもしれません(笑)生徒に徹底させている手前、講師の僕も義務感で次数下げを行いました。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m

解説

6解答①
6解答②

問題

7問題

考え方

(1)は何も考えず、千葉大の作問を信じ、メンドくさいですが \(f\left(\displaystyle\frac{1}{1-\alpha}\right)\) を計算しましょう。分子に \(f(\alpha)=0\) が作れて終了です。

(2)が鬼門になるでしょう。「極値の積が負」で処理しようとすると、計算がめんどい、かつ(3)が解けなくなってしまいます。

めぐろ塾の安田

中間値の定理」の一番の使いどころは?

3次方程式が異なる3つの実数解を持つことの証明!

って即答できない人には厳しい問題です。かつここで、

(3)が解の極限

(1)の結果を利用を意識

解のどれかの範囲で \(\displaystyle\frac{定数}{n}\) を見つけておく
(一番小さい解、解答の \(\alpha_n\) の下限値で見つかります)

と解答のように完勝なんですが…

ここまで試験時間内で処理するためには、類問の経験がかなり必要でしょう。(2)までできていれば及第点に思えます。

解説

7解答①
7解答②

問題

8問題

考え方

めぐろ塾の安田

フリーハンドで解答のようにキレイな円が作図できると思うな!

\(C_1\:,\:C_2\) の半径 \(p\:,\:q\) は \(C\) の半径1よりは小さいっしょ

内接は「中心間距離=半径の差」、外接は「中心間距離=半径の和

角度与えられてるから、余弦定理

って感じで、汚い作図でも円の特性から解法に気づけるようにしてください。これで(1)をクリアすれば、(2)は \(\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\displaystyle\frac{\sin\theta}{\theta}=1\) を使うだけで典型です。僕はここまで一切図を描きませんでした。

めぐろ塾の安田

って自慢しましたけど…作図ってホント大事…

(3)も頭の中で図をイメージしてやったら、\(C_2\) が \(C_1\) より大きい場合(解答の(Ⅱ))を失念しちゃいましたね、プロ講師名乗っててすいませんm(_ _)m

ま~これでも(4)は当たります。(1)の結果で \(\theta\) よりも \(p\) の登場回数が多いので、解答のように \(\theta\) を消去して、\(p\) の式の極限で考えるのが楽でしょう。分子・分母ともに有理化を実行して計算します。

解説

8解答①
8解答②
8解答③

問題

9問題

考え方

(1)は、分母を払って \(t\) の恒等式となるようにするだけですが…

パスカルの三角形の \(k\) 行目と \(k+1\) 行目に注目すると…

\({}_k\textrm{C}_m+{}_k\textrm{C}_{m+1}={}_{k+1}\textrm{C}_{m+1}\)

とゆ~マイナーな公式を知らないとお話にならない鬼畜問題となっております(笑)

めぐろ塾の安田

二項定理を帰納法で証明する際に使ったりするんですが、自分で演習中に使ったのは数年ぶりです(笑)しかも2回も使わせやがる…

さらにシグマの消去が必要なので、片方のシグマを一方に合わせるような変形も必要になります。

そして、(1)で充分に高レベルなのに…

めぐろ塾の安田

(2)の解答打ち込むのだけで1時間以上かかりました(笑)
(2)は絶対に捨てましょう

(1)で \(m\) の漸化式を立式しているので、これを解く

階差数列分かるタイプに持ち込み、シグマ部分が0に収束することを証明

初項の極限で、無限等比級数

とゆ~、「ここまでやらせるのか?」って処理のオンパレードでした(笑)

  • そもそも \(m\) の漸化式解く方向でいいのか不安
  • その漸化式解いてるときに文字多くて混乱
  • 一般項は0だけど、シグマとって0でいいの?(項数 \(m\) は有限確定値だから、結局はオッケー)
  • 階差数列分かるタイプの漸化式だから、初項(\(m=0\))の確認もいるよね、でもどのタイミングでやればいいの?
  • 初項の極限に辿りついたけど…ここで無限等比級数までいるんか~い

ってことで鬼門が多すぎます…

めぐろ塾の安田

(1)解ければ大成功です。

解説

9解答①
9解答②

講評

去年2023の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

解答方式試験時間・大問数難易度
記述式学部・学科によって変わる変化なし

に思えます。個人的には9がなければやや易化だったんですが、9が厳しすぎました。これ解かされる理学部と医学部の受験生は可哀想…

また、解説中でも話してきた通り、7は類問の経験がかなりないと完答できない問題です。

めぐろ塾の安田

4(1)・(2)と6を完答し、後は部分点をかき集める
のが大事なテストだったかと思います。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ!

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

「武蔵小山駅」7分、「不動前駅」9分、攻玉社・小山台高校から徒歩圏内、日本全国どこからでも受講可能!

な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。

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