2023東工大【数学】解答速報

2023東工大【数学】解答速報

2023東京工業大学の数学の解答速報をお届けします!!!

めぐろ塾の安田

試験日に家族サービスで旅行中だったんで、伊東園ホテルズにパソコン持ち込んで打ち込みました(笑)
伊東園ホテルズで数学解いた初めての人間ってオレじゃない?(笑)

ちまたでも「今年の東工大の数学は難化だ~」って騒がれてますが…

めぐろ塾の安田

冷静に思考すれば、いつもと大して変わらない

ただ、良くもま~ここまで見た目をムズそうに作問してきたな~とは思います。

目次

問題

1問題

考え方

めぐろ塾の安田

問題文が1行ってゆーラスボス感(笑)

に惑わされてはいけません。

  • 積分計算は不可能
  • 「整数部分を求めよ」=「不等式を作れ」=「評価せよ」ってことだから、被積分関数の不等式を作ってインテグラルつけちゃうのが最有力
  • \(x\) が十分に大きいとき、\(x\) は \(e^x\) に比べてカスみたいなもん
  • グラフから、\(x≧0\) で \(x<e^x\)

を意識すれば、 \(0≦x<e^x\) ⇔ \(e^x≦x+e^x<2e^x\) ⇔ \(\displaystyle\frac{1}{e^x}<\displaystyle\frac{2}{x+e^x}≦\displaystyle\frac{2}{e^x}\)

これを定積分することで、 \(1-\displaystyle\frac{1}{e^{2023}}<\displaystyle\int_{0}^{2023}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx≦2-\displaystyle\frac{2}{e^{2023}}\)

\(e^{2023}\) がとてつもなく大きいことを意識すれば、整数部分が1であることはすぐに分かります

めぐろ塾の安田

だからこの問題の本番は、1より大きいことの証明

これには色んな方法がありますね…面積使ったりとかもできるし…

伊東園ホテルズに向かう車を運転しながら、最もキレイな解法を探してみましたが…

めぐろ塾の安田

「これだっ!!」ってゆーべストなのは見つからなかった(笑)
解答速報によって、証明法は千差万別になると思います。
多様な解答を採点する手間を買ってでた東工大に拍手!(笑)

因みに僕はソフトで打ち込んでると作図がダルイんで、

めぐろ塾の安田

\(1-\displaystyle\frac{1}{e^{2023}}\) なんてほぼ1みたいなもんだから、\(x<e^x\) の評価の精度をちょっとだけ上げとこ~、ってことで…

1考え方
めぐろ塾の安田

ことから \(x+1≦e^x\) ってのを証明して使いました。
このグラフの状態も大学受験では大事だよ!
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=1\) って公式とか覚えやすくなる。

でもこの方法も… \(1.8>\sqrt{3}\) とかを強引に作って使ってるし…

めぐろ塾の安田

我ながら個人的に好みじゃない(笑)

解答

1解答

問題

2問題

考え方

めぐろ塾の安田

問題文の短さによるラスボス感、続く(笑)

  • 未知整数確定で素因数の拾い上げを行うのは明らかなのに、因数分解が終了しちゃってる(フツーは因数分解するとこがメイン)
  • 右の素因数分解で…素因数何個でてくんだよ…
  • 東工大だから何かやらかしてくんじゃねーか?

ってことで、数学できる人ほどイヤに見える問題ですが(笑)

\(x^3-x=(x-1)x(x+1)\) も \(y^3-y=(y-1)y(y+1)\) も3連続整数の積だから、3!の倍数

これに気づくのが全ての問題です。これにさえ気づければ…

めぐろ塾の安田

後はしらみつぶすだけ。
…メンドイけど…(笑)

  • \(y\) の範囲をある程度絞って、しらみつぶす可能性を減らす
  • \(y\) の偶奇別に考えることで、可能性をキレイに整理する

とゆー、何ともカッコいい論証(見落としあったらゴメン)を伊東園ホテルズで打ち込ませて頂きましたが…

めぐろ塾の安田

3時間ってゆー試験時間内でここまでの解答を作る自信はない、我ながら(笑)

論証が甘くても、答を当てることを重視して解いた方がいいでしょう。

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解答

2解答①
2解答②

問題

3問題

考え方

今年の問題の中では最も簡単で計算量も少ない問題です!

めぐろ塾の安田

でも確率と複素数が絡んでるからね。
「ムズそう」って思っちゃう気持ちは分かる(笑)

僕も最初は「ムズイのかな~」って思いましたが、

めぐろ塾の安田

「3枚から2枚を順に選ぶ」だから、複素数の種類は \({}_3\textrm{P}_2\)=6通りしかない

ってことで簡単ってことに気づきました。

(1)は \(n\) 回の試行の過程を具体的に考える

(2)は確率漸化式

とゆー、\(n\) 回試行で王道の2解法を順に使わせる構成は、個人的に好印象でした。

解答

3解答①
3解答②
3解答③

問題

4問題

考え方

めぐろ塾の安田

問題の見た目がこっちのメンタル折ってくるよね~、回転が2回あるとこが特に。最初は僕も「私めにはムリそ~」って思ったけど…

\(x\) 軸を中心軸とする半径1の円柱と、\(y\) 軸を中心軸とする半径1の円柱の共通部分は、それぞれの \(z=t\) での断面を考えて重ね合わせると正方形になり、体積は \(\displaystyle\frac{16}{3}\)

めぐろ塾の安田

って問題はクソ有名問題なので、やったことあるよね?
実はこの類問。僕もそれに気づくまでに時間かかったけど(笑)

この経験があれば、断面の場合分けも3つしかないので、東工大としては簡単な問題レベルなんですが…

めぐろ塾の安田

最後の積分計算が地獄(笑)解答のように、

  • かなり定積分の結合が可能
  • 円の面積で時短できる定積分計算が2つある

ってとこを加味しても地獄(笑)

めぐろ塾の安田

僕3回目、先輩2回目の結果がやっと一致しました。
他に解答だしてる人とも一致してるから多分大丈夫かと

時間内だと、体積の定積分での立式まで終了させ、円の面積での定積分計算を使用する姿勢を見せる、で部分点狙いが現実的に思えます。

解答

4解答①
4解答②
4解答③
4解答④
めぐろ塾の安田

すまん、円を作図するのがダルかった(笑)
これ↓でゆるして~

4解答⑤

問題

5問題

考え方

めぐろ塾の安田

最後の問題で「空間」ってラスボス感に惑わされないことが大事(笑)

実はこの問題、今年の問題の中で「思考量」って観点から言えば一番簡単です。

(1)
空間の図形って、図形上の点 \(\textrm{X}\:(x\:,\:y\:,\:z)\) の方程式のことだから、「空間における点と直線の距離」って超有名内容を2回繰り返して距離を \(x\:,\:y\:,\:z\) で表す。後は「=」でつないで整理するだけ。

(2)
(1)からのノリで、「空間における点と直線の距離」って超有名内容を後2回やるだけ。

なんだけど…

めぐろ塾の安田

計算量はヤバイ(笑)

解答の(Ⅰ)~(Ⅶ)の場合分け前までこなして、部分点を狙うのが現実的です。

※追記
他のとこの解答とか見ると、場合分け前までは正射影ベクトルで時短できるみたいですね。ま~でも図とかは考えず、計算でゴリ押しちゃった方がコスパはいいかと。ホントに計算ヤバイのは場合分けのとこなんで(笑)

解答

5解答①
5解答②
5解答③
めぐろ塾の安田

↑をPX=RXでやろうとすると2次式になって、この後の連立方程式解くのがキツイってゆー悪質なひっかけが(笑)

5解答④
5解答⑤

講評

めぐろ塾の安田

東工大を一年セットで10年分以上解いてる身からすると、難易度的にいつもと大差はないんだけど…

解答方式試験時間大問数難易度
記述式180分5問やや難化

じゃないですかね。理由は…

  • 問題の見た目のラスボス感が強すぎる
  • ラスボス感が一番強い問題(問題文1行)を最初に設置しやがった
  • 3と5の計算量がやばすぎる
  • 全体的に場合分けが多すぎる
めぐろ塾の安田

繰り返すけど、試験日旅行中だったんだよ(笑)
伊東園ホテルズで、ペンを使わず、解答をソフトで打ち込みながら解いてた。

冷静に俯瞰して、ペンで180分で解いた場合の自分のベストパフォーマンスを考えると、

めぐろ塾の安田

1:完答60点 + 2:論証不備50点 + 3:完答60点 + 4:体積立式と円の面積の使用を書いた部分点狙いで40点 + 5:解答の(Ⅰ)~(Ⅶ)の場合分け前までこなした部分点狙いで40点 = 約250点/300点

だけど、180分でも時間足りね~ってなると思うな(笑)

めぐろ塾の安田

ホントに調子悪かったら、こっから余裕で100点近く下がると思う(笑)

答を全て当ててる大問が2問、後は部分点を拾う記述ができてれば十分戦えるでしょう。

めぐろ塾の安田

早慶理工の合格発表も終わったね。

私立で後期設定している大学、国立後期を受ける人は頑張って!

それ以外の受験生の皆、本当にお疲れ様!!

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

「武蔵小山駅」7分、「不動前駅」9分、攻玉社・小山台高校から徒歩圏内、日本全国どこからでも受講可能!

な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。

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