2023北大【文系数学】解説・解答・講評

2023北海道大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします！

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

１

問題

考え方

受験生の皆がキライな…具体的に \(P(x)\) が与えられない…「抽象関数」の問題です。

(1)や(2)については、

\(x\) にテキト～に値を代入しときゃなんとかなる！

ってゆー、抽象関数の問題に対しての耐性がついていればカンタンです。

(1)は、与恒等式に \(x=0\) を代入するだけ。

(2)は、解答のように因数定理を逆利用し、与条件を、

\(P(x)\) が \(x-1\) で割り切れない
↓
\(P(x)=0\) が \(x=1\) を解に持たない
↓
\(P(1)≠1\)

と認識できれば、与恒等式に \(x=1\) を代入すれば良いことに気づけます。同様にして、示すべき結果も \(P(-1)-1=0\) と認識しましょう。

そもそも本問では、(3)を解くのに(1)・(2)の結果は必要ありません。「次数が２」って言われているので、

\(P(x)=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\) を忘れずに！）とおく
↓
与恒等式に代入して、係数比較

するだけ。(3)の完答はマストです。

解答

２

問題

考え方

(1)は、内角の２等分線定理でＡＰ：ＰＢが出せるので、「一次結合＜解法１＞」を使うだけでカンタン。\(\left|\overrightarrow{\textrm{OP}}\right|\) の計算は２乗して \(\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値から計算しましょう。\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の計算は余弦定理ではなく、ＡＢ＝７を２乗して計算するクセがついていた方が良いです。

(2)は、最近上位校で流行りの「傍心の１次結合」。

外角の二等分線定理を暗記している人であれば、線分比を求めて「一次結合＜解法１＞」でも解けますが、僕みたいに暗記してない人も多いでしょう(笑)角の２等分線の方向ベクトル↓

を用いて、「一次結合＜解法２＞」で対処すれば済む話です。このとき解答のように、

「方向ベクトル」は方向のみが大事
↓
係数や成分が整数値になるよう、適宜実数倍

するのは受験で常套のテクニック。今回もこれでめっちゃカンタンな連立方程式を作成できます。

因みに外角の２等分線は、

同じ方向となるので、どっちでとっても大丈夫です。ただ、「傍心の１次結合」の場合は青でとった方がひし形がイメージしやすく、角の２等分線の方向ベクトルが使いやすくなります。

解答

３

問題

考え方

(1)で実験してみると、\(K_2=5\) となる場合多すぎじゃね？って思います。

そして(3)の \(q_n=5\) であり、\(K_n=q_n=5\) となる必要十分条件が \(a_1≦a_2≦a_3≦\:\cdots\cdots≦a_{n-1}≦a_n\) だろうな～、って予測はすぐに立つんですが…

僕は帰納法でやってる最中に、

ってことに気づいて \(K_n≦K_{n+1}\) 、等号成立が \(a_n≦a_{n+1}\) であることを認識しました。

帰納法で書くと分かりにくいので、解答では、

(1)で36分表を書いて、\(K_2\) の最小値が５であることを確認
↓
次に(3)で一般証明、「帰納的に」って言葉で帰納法のフォーマットを回避
↓
その結果を用いて、(2)

という構成にしてあります。(2)は一般証明を与えた後でないと \(a_1≦a_2≦a_3\) を使えないので。数え上げるのは面倒くさすぎます。

因みに(2)は、解答のように、

重複組み合わせ　→　〇と｜でモデル化

で計算するのが一番カンタンです。

途中点の獲得重視で、

\(q_n=5\) 、\(K_n=q_n=5\) となる必要十分条件が
\(a_1≦a_2≦a_3≦\:\cdots\cdots≦a_{n-1}≦a_n\) という予測を立てる
↓
その予測にもとづき、(1)・(2)の答を当てる
↓
(3)で帰納法で証明する姿勢を見せる

とできれば充分でしょう。しっかりと部分点は拾ってください。

解答

４

問題

考え方

2023東大理系数学の第３問でも出題されている、「放物線の軸上に中心が乗る円との共有点の問題」です。

(1)は、解答のように接点をおき、「法線の通過条件」と「中心から接点への距離」を処理して解くのが一番カンタンでしょう。

(2)は、放物線と扇形の作る面積ってだけ。計算も少なめです。

解答

講評

ですね。３があるから。３のせいで。３がなければ「変化なし」なのに(笑)

ほぼ１・２・４での勝負となったでしょう。

１　→　２　→　４　→　３で部分点を拾う

の順で解けた人は正解。３で完璧な解答を書けた人はほとんどいなかったと思います。

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！