2023共通テスト数学ⅠＡ解説～点数とるの重視で～

共通テストを受けた受験生の皆さん、二日間お疲れ様でした！

数学ⅠＡの解説を、「厳密性とかはすっ飛ばして、点数をとる！」をテーマにお届けします！

同じコンセプトで数学ⅡＢの解説もやってます↓

第１問

数直線で、「原点Oと \(x+6\) の距離≦２」と考えましょう。

\(x+6\) の存在範囲は上図の赤部分なので、

\(-2≦x+6≦2\)　　∴　\(-8≦x≦-4\)　（ア～エの答）

\[\begin{split}&-8≦(1-\sqrt{3})(a-b)(c-d)≦-4\\\Leftrightarrow\:\:&\displaystyle\frac{8}{\sqrt{3}-1}≧(a-b)(c-d)≧\frac{4}{\sqrt{3}-1}\end{split}\]

∴　\(2+2\sqrt{3}≦(a-b)(c-d)≦4+4\sqrt{3}\)　（オ～クの答）

①の左辺 \(=ac-bc-ad+bd\)
②の左辺 \(=ab-bc-ad+cd\)

③の左辺 \(=ac-cd-ab+bd\)

\((a-d)(c-b)=7+3\sqrt{3}\)　（ケ、コの答）

正弦定理から \(\displaystyle\frac{\textrm{AB}}{\sin\angle\textrm{ACB}}=2\cdot5\) で、\(\textrm{AB}=6\) だから、\(\sin\angle\textrm{ACB}=\displaystyle\frac{3}{5}\)　（サの答）

\(\cos\angle\textrm{ACB}<0\) より、\(\cos\angle\textrm{ACB}=-\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2}=-\displaystyle\frac{4}{5}\)　　（シの答）

直角三角形OADに注目して、\(\tan\angle\textrm{OAD}=\displaystyle\frac{\textrm{OD}}{\textrm{AD}}=\displaystyle\frac{4}{3}\)　（スの答）

二等辺三角形ABCの面積は、\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot6\cdot\textrm{CD}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot6\cdot(5+4)=27\)　（セ、ソの答）

余弦定理から、\(\cos\angle\textrm{QPR}=\displaystyle\frac{8^2+9^2-5^2}{2\cdot8\cdot9}=\displaystyle\frac{120}{2\cdot8\cdot9}\:\)\(=\displaystyle\frac{40}{2\cdot8\cdot3}=\displaystyle\frac{5}{6}\)　（タ、チの答）

\(\sin\angle\textrm{QPR}>0\) より、\(\sin\angle\textrm{QPR}=\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{11}}{6}\)

△PQRの面積は、\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot8\cdot9\cdot\sin\angle\textrm{QPR}=4\cdot9\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{11}}{6}=6\sqrt{11}\)　（ツ～トの答）

\(\textrm{PH}=\textrm{QH}=\textrm{RH}\)　（ナの答）

正弦定理から、\(2\textrm{PH}=\displaystyle\frac{5}{\sin\angle\textrm{QPR}}=\displaystyle\frac{5}{\displaystyle\frac{\sqrt{11}}{6}}\)　　∴　\(\textrm{PH}=\displaystyle\frac{15}{\sqrt{11}}\)

直角三角形OHPに注目して、\(\textrm{OH}=\sqrt{\textrm{OP}^2-\textrm{PH}^2}\)\(\:=\sqrt{5^2-\left(\displaystyle\frac{15}{\sqrt{11}}\right)^2}\)\(\:=5\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{3}{\sqrt{11}}\right)^2}\)\(\:=5\sqrt{\displaystyle\frac{2}{11}}\)

以上から四面体TPQRの体積は、\(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\:\)(△PQRの面積)\(\:\cdot\:\textrm{TH}\)\(\:=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{11}\cdot\left(5+5\sqrt{\displaystyle\frac{2}{11}}\right)\:\)\(\:=10\left(\sqrt{11}+\sqrt{2}\right)\)　（ニ～ハの答）

第２問

センター試験最後半から、文章を不要に長くして回答者の混乱を誘う傾向にあり、特に「データの分析」からの出題ではこの傾向が強いです。

↑のページでは、ヒストグラムが１つ登場してることだけを認識して、すぐに次のページ↓を見ましょう。

ヒストグラムから第１四分位数と第３四分位数の入る階級を判断する問題であることを把握したら、この時点で前ページの赤部分を見て、下から52÷4=13～14番目の入る階級、上から13～14番目の入る階級を見つけます。

因みに、階級の度数の足し算がぴったり13や14になった場合は青の部分も読む必要がありますが、今回この必要はありません。

第１四分位数が含まれる階級は、1800以上2200未満　（アの答）

第３四分位数が含まれる階級は、3000以上3400未満　（イの答）

四分位範囲は、3000－2200＝800より大きく3400－1800＝1600より小さい　（ウの答）

「中央値＝第２四分位数」は箱の中に入ってる線のとこだから、すぐに

正しいのは、②　（エの答）

ってできるのがベストですが、どれから読むか悩むのもタイムロスなので僕は「選択肢は順番通り読む」って決めちゃってます。

⓪は、STEP１～３の順で目を運べば間違い。

①は、「箱ひげ全体の長さ＝範囲（レンジ）」って分かってれば、Wの方が長いから間違い。

完璧な確証を得て解いたので、残りの選択肢③を読んではダメです、ただのタイムロス！

後者はデータの分割・統合・修正、数列や確率との融合で使います。

今回は前者で②　（オの答）

因みに今回のように、ただ掛け算・割り算で「相関係数」を計算させる問題は、2015センター試験ⅠＡ・2022共通テストでも出題されています。

相関係数は、\(\displaystyle\frac{124000}{590\cdot570}=\displaystyle\frac{1240}{59\cdot57}\)\(\:>\displaystyle\frac{1200}{60\cdot60}=\displaystyle\frac{1}{3}=0.333\cdots\) くらいじゃね？

で⑦　（カの答）

STEP１で放物線 \(C_1\)：\(y=ax^2+bx+c\) の確定問題ってことを把握したら、すぐに通過条件を探してSTEP２の \(\textrm{P}_0(0\:,\:3)\) から \(c=3\) 、Mも探さないといけないからSTEP３で \(\textrm{M}(4\:,\:3)\) を見つける。

\(y=ax^2+bx+3\) が \(\textrm{M}(4\:,\:3)\) を通るので、\(3=a\cdot4^2+b\cdot4+3\) より、\(b=-4a\)
∴　\(y=ax^2-4ax+3\)　（キ、クの答）

STEP１に発生してる「プロ選手」と「シュートの高さ」を上で探すと、STEP２で \(C_1\) が「プロ選手」のものであることが分かり、STEP３で「シュートの高さ」が頂点のy座標であることが分かる。一応太字だし、「～の地上の位置」が頂点のx座標であることも把握しておこう。

\(C_1\)：\(y=ax^2-4ax+3=a(x-2)^2-4a+3\) より、プロ選手のシュートの高さは、\(-4a+3\)　（ケ、コの答）

一応前ページに戻り、\(C_2\) が「花子さん」のものであることを確認。「ボールが最も高くなる～」は頂点のことを意識、\(C_2\) のy座標が複雑すぎることや選択肢のチラ見でx座標比較であることに気づき、プロの頂点のx座標は2でMのx座標は4であることを再整理、↑の \(C_2\) の式から花子の頂点のx座標が \(2-\displaystyle\frac{1}{8p}\) を読み取って、対象の放物線は全て上凸だから最高次の係数p＜0も合わせれば、

プロの頂点のx座標2　＜　花子の頂点のx座標 \(2-\displaystyle\frac{1}{8p}\)　＜　Mのx座標4
なので、②　（サの答）

最初の設問周辺の「放物線 \(C_1\) がDを通るとき、」のとこを見たら、\(\textrm{AD}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{15}\) を把握して、前ページの図から \(\textrm{D}\left(3.8\:,\:3+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{15}\right)\) を出す。冷静に \(C_1\) をaで表した結果まで戻って…

\(C_1\)：\(y=a(x-2)^2-4a+3\) が \(\textrm{D}\left(3.8\:,\:3+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{15}\right)\) を通るので、\(3+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{15}=a(3.8-2)^2-4a+3\)　\(\Leftrightarrow\:\:\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{15}=\left(\frac{9}{5}\right)^2a-4a\)
∴　\(a=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{15}}{\left(\displaystyle\frac{9}{5}\right)^2-4}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3}}{9^2-4\cdot5^2}\)\(\:=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3}}{(9+10)(9-10)}=-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3}}{19}\)
\(\:=-\displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{57}\)　（シ～ソの答）

複雑な \(C_2\) のy座標計算を作問者がしてくれてることを認識したら、「それなら頂点のy座標比較してやってもいいぜ？」って思って…

プロの「シュートの高さ」＝ \(C_1\) のy座標\(\:=-4a+3=-4\cdot\left(-\displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{57}\right)+3\)\(\:=\displaystyle\frac{20\sqrt{3}}{57}+3≒\displaystyle\frac{20\cdot1.7}{57}+3\)\(\:≒1.7\cdot\displaystyle\frac{1}{3}+3≒3.6>3.4\)

より、プロ選手（⓪）の「シュートの高さの」方が約 \(3.6-3.4=0.2\) だけ大きい　（タの答）

約0.2はボール約１個分で、⓪　（チの答）

第３問

球１の塗り方は５通り、
球２の塗り方は球１の色以外で４通り、
球３の塗り方は球２の色以外で４通り、
球４の塗り方は球３の色以外で４通り。
∴　５・４・４・４＝３２０通り　（ア～ウの答）

(2)
球１の塗り方は５通り、
球２の塗り方は球１の色以外で４通り、
球３の塗り方は球１と球２の色以外で３通り。
∴　５・４・３＝６０通り　（エ、オの答）

(3)
赤は「球１と球３」or「球２と球４」に塗るしかない、
余った球には赤以外のどれを使っても良い。
∴　２・４・４＝３２通り　（カ、キの答）

(4)
球１に赤と青は使えないので、塗り方は３通り、
球２～６で青を塗る球を選ぶと \({}_5\textrm{C}_2\) ＝１０通り、残りには赤を塗る。
∴　３・１０＝３０通り　（ク、ケの答）

図Ｆの球３と球４が同色になる塗り方は、
球３と球４を重ねた図の塗り方と一致するので、②　（コの答）

(図Ｄの塗り方)＝(図Ｆの塗り方)－(図Ｆの球３と球４が同色になる塗り方)
＝３２０－６０＝２６０通り　（サ～スの答）　

図Ｇの球４と球５がつながれていない場合の塗り方は、
５・４・４・４・４＝１２８０通り

さらにこの場合で球４と球５が同色になる塗り方は、
球４と球５を重ねた図Ｄの塗り方に等しい。

(図Ｇの塗り方)＝１２８０－２６０＝１０２０通り　（セ～チの答）

第４問

４６２＝２・３・７・１１
１１０＝２・５・１１

∴　１１　（ア、イの答）

最小公倍数は、４６２・５＝２３１０　（ウ～カの答）

横に並べる長方形を \(x\) 枚、縦に並べる長方形を \(y\) 枚とすると、横の長さと縦の長さの差の絶対値は、\(|462x-110y|=22|21x-5y|\)

この最小値は \(x=1\:,\:y=4\) のとき、２２　（キ、クの答）

\(21x-5y=-1\) の自然数解は、
\(x=1\:,\:2\:,\:3\) のとき見つからない、
\(x=4\) のとき見つかって \(y=17\)

このときの横の長さは、４６２・４＝１８４８　（ケ～シの答）

１１０＝２・５・１１
１５４＝２・７・１１

より最小公倍数は、１１０・７＝７７０　（ス～ソの答）

４６２＝２・３・７・１１
３６３＝３・１１・１１

より最大公約数は、３３　（タ、チの答）

これと７７０の最小公倍数は、７７０・３＝２３１０　（ツ～ナの答）

横に並べる赤い長方形を \(a\) 枚、青い長方形を \(b\) 枚とすると、自然数 \(c\) を用いて、\(462a+363b=2310c\)\(\:\:\Leftrightarrow\:\:14a+11b=70c\)\(\:\:\Leftrightarrow\:\:11b=14(5c-a)\)

\(11\) と \(14\) は互いに素なので、\(5c-a\) は \(11\) の倍数。よって \(c\) の最小値は \(c=3\) であり、このとき確かに \(a=4≧1\:,\:b=14≧1\) である。

以上から、正方形の辺の長さの最小は、２３１０・３＝６９３０　（ニ～ノの答）

第５問

いつも通り「図形の性質」からの出題ですが…

全体的に文章量が多いことは、問題も掲載してきたので再度言うまでもないでしょう。

文章量的に言っても、

現行過程が始まった2015センター試験から、数学ⅠＡの選択問題では「図形の性質」の難易度が高いことが多いので…

とゆーわけで選択しちゃダメだった問題なわけですが、一応解説を。

最初は円の接線・法線の性質から、\(\angle\textrm{OEH}=90^\circ\)　（ア、イの答）

以下は、

図の90°マーク２つから、直径に対する円周角の定理で、４点Ｃ、Ｇ、Ｈ、③Ｏ　（ウの答）
はＯＨを直径とする円周上

ⅰ　この円の対角の和＝180°から、∠ＣＨＧ＝∠ＦＯＧ　（エの答）
ⅱ　二等辺三角形ＯＤＧに注目すれば、∠ＦＯＤもこれ
ⅲ　円Ｏに「中心角＝円周角の２倍」を使えば、これは∠ＤＥＧでもある　（オの答）

∠ＣＥＧ＝∠ＣＨＧより、弧ＣＧに対する円周角の定理の逆から、４点Ｃ、Ｇ、Ｈ、②Ｅは同一円周上　（カの答）

最初は前ページと同様に、

４点Ｐ、Ｔ、Ｓ、Ｏは同一円周上

ⅰ→ⅱ→ⅲの順番で、∠ＰＴＳ＝∠ＱＲＳ　（キの答）

∠ＰＲＳ＋∠ＰＴＳ＝180°より、４点Ｐ、Ｒ、Ｓ、Ｔは同一円周上であり、この円の直径はＯＴなので、この円の半径は、\(\displaystyle\frac{3\sqrt{6}}{2}\)　（ク～コの答）

直径に対する円周角の定理から、△ＯＲＴは直角三角形なので、
ＲＴ\(\:=\sqrt{\left(3\sqrt{6}\right)^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}=7\)　（サの答）

講評

第１問

後半の立体計量が鬼門だったように思えます。

解説にも書いた通り、論証抜きで即座に最大となる場合を作図できないと厳しかったでしょう。

第２問

って思えてなかった人は厳しかったでしょう。

「データの分析」からの出題は過去最大級に簡単でしたが、後半の「バスケットボール」は頂点のx、y座標が変な言葉で与えられていたため、僕も結構混乱しました。

第３問

2015センター試験からほぼ必ず出題されていた「条件付き確率」はおろか、確率さえ出題されませんでした。

計算量も少なかったため、いつもより楽だったでしょう。

第４問

「２変数１次不定方程式」に慣れていた人でも、最後はキツかったかもしれません。

でも解説で言った通り、当てカンで４択にできますし…

他も分かってなくてもノリで当てれる問題は多かったです。

第５問

解説でも言った通り、

解説見て簡単に見えた人もいるかもしれませんが、同一円周上を見抜くのはかなりキツイです！

因みに本問のような、「図形のマイナー性質を誘導に従って証明させる」問題は共通テストのプレテストでも出題されていたため、今後も同じような出題がされる可能性は高いでしょう。

総評

第１問の立体計量、第２問の「バスケットボール」、第５問以外は平坦な構成です。

過去最大級に難しかった2022よりかなり楽になりました。

過去のセンター試験ⅠＡの水準（60点弱）に戻って、教えている側も一安心(笑)

• 第２問の分散の定義を解答させる問題のページを飛ばしちゃった…　－３点
• 第２問の「バスケットボール」のx座標比較でp＜0を失念…　－３点
• 第４問で不注意（見間違い）で２問外す…　－６点

で88点…

まとめ

簡単になったとはいえ、

ってことと、

って２点を普段から意識してなかった人にはキツかったと思いますが…

点数良かった人も悪かった人も、頭を切り替えましょう！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！