2023上智経済【数学共テ併用】解説・解答・講評

2023上智大学経済学部の共通テスト併用方式の数学の解説・解答・講評をお届けします！

TEAPスコア利用方式の数学については↓の記事をご覧ください。

１

問題

考え方

(1)は、三つ折りで折りたたむ回数をｎ、\(10000\) メートルを冷静に \(10000\cdot10^3\) ミリメートルにして、不等式を立式。後は両辺に常用対数をとって、ｎについて整理するだけです。

(2)は、\(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\) を使って、\(\sin\theta=t\) の２次方程式の問題にします。このとき、\(-1≦\sin\theta≦1\) と変域をチェックするのを忘れないように！…と…ここまでは非常にカンタンに見えるんですが…この問題、厳密にやると大問まで合わせた今年の問題の中で一番難しいです！

ってことで、端点値の一つが正になることを見抜き、軸が解の区間の左に外れる場合が不適であることから場合分けを２つにした解答を作りましたが…文系生徒にはちょっとキツい気がします。

下手に時間を使ってしまうよりは、判別式 \(D≧0\) や端点値 \(f(1)≦0\) から出てくる結果を解答してしまった方が良いでしょう。後者を書いた人は、厳密解答と同じ結果になるのでチョーラッキー！

(3)は、正の約数の和の公式を使うだけ。公式として丸暗記するのではなく、

\(12^3=(2^2\cdot3)^3=2^6\cdot3^3\) の正の約数の素因数分解は、\(2^{6以下}\cdot3^{3以下}\) の形
↓
展開計算　\((2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6)(3^0+3^1+3^2)\)　に全て登場する

というように、その都度自分で考えて導出するのが良いでしょう。

(4)は問題文でもヒントがあるんですが…

mod ５ で、　\(n≡\begin{equation}\begin{cases}0\\±1\\±2\end{cases} \end{equation}\)　→　\(n^2≡\begin{equation}\begin{cases}0\\1\\4\end{cases} \end{equation}\)

から、\(n^2\) を５で割った余りは、\(0\:,\:1\:,\:4\) のみであることに気づけるかが全てです。これさえ把握できれば、上を逆に追って、５で割ったときの

• \(x=n^2\) の余りが０　→　\(n\) の余りが０
• \(x=n^2\) の余りが２　→　\(n\) は存在しない
• \(x=n^2\) の余りが１　→　\(n\) の余りは \(±1\)　→　\(n\) の余りは０か４

となる \(n\) の個数を考えるだけになります。でも…

• 記号の設定が複雑
• 合同式を使いこなせてないとお話にならない
• (ⅱ)では \(N\:(x\:,\:1)=4\) となる最小の \(x\) から１を引く、と考えなければならない

ことから、受験者の出来は良くない気がします。

解答

２

問題

考え方

(1)は、微分して代入計算するだけ。これは(2)のための作問者からの有難いヒントなので、絶対外さないように！

(2)は、こーゆーの↓

意識してる人は、

• 極値が２つ　→　\(f(x)\) が３次関数だから、４次の係数＝０
• 極値が１つ　→　\(f'(x)=0\) の解を重解とする

ってことに一瞬で気づけます。因みに↑はめぐろ塾の授業プリントの一部を抜粋しています。こーゆ～詳しいプリントで授業受けたい人はお気軽にお問い合わせを↓

ま～でも誘導が親切なんで、ノリでもいけるでしょう(笑)一番の鬼門は、

(1)の結果から、３次関数 \(f'(x)\) が \((x-a)(x+a)=x^2-a^2\) を因数に持つ
↓
最高次の係数と定数項だけ考えれば、一瞬で商の１次式が分かる

ってことに気づけるかです。組み立て除法とか使うと計算ミスっちゃう可能性があるので。また、\(f(x)\) の「極値」系の問題では、前後での \(f'(x)\) の「符号変化」を断る、ってゆー法律があるので、解答ではそれに則った記述をしていますが、答当たってれば大丈夫ですよ。マーク式だもの(笑)

(3)は、(2)の結果から増減表を作って解答するだけ。

(4)は、\(a\) の値が刷新されているので、独立でも解けます。

接点を \(t\) とおいて接線を立式
↓
\((-1\:,\:f(-1))\) の通過条件を処理して、\(t\) の方程式を立式、これを解く

だけです。

\(y=f(x)\) 上の点 \((-1\:,\:f(-1))\) から接線を引くので、\(t=-1\) は絶対にこの解になる

ことを意識すれば、計算ミスも防げます。

分数値との大小関係を問題文が設定してくれており、計算ミスが防ぎやすいってゆー親切設計の問題なので、時間をかけてもこれは完答したいところ。

解答

３

問題

考え方

あまりにも…↓

とその前２つの記事の内容すぎたので…

解答打つのも10分かからず…問題文打ち込んでる時間の方が全然長かったですね(笑)

初見だった人は、これを機に上の記事で勉強してみてはいかがでしょうか？この問題を10分以内に解けるようになります♪

解答

講評

に思えます。

例年よりも小問集合の難易度差が激しかったです。１(1)・(3)は絶対に当てましょう！(2)・(4)は外しても大丈夫です。

合否の最大の分かれ目は、３（黄金比）の類問の経験があるかないかだったでしょう。黄金比に詳しい人は瞬殺できるので、１や２にかけられる時間に大きく差がついてします。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！