小山台高校 高３文系１学期 期末考査【数学Ⅱγ】講評
都立小山台高校は、めぐろ塾最寄りの高校の１つで、文系の高３生が１人在籍しています。
めぐろ塾の安田せっかくだからソイツから問題かりて、「めぐろ塾」で数学教えてる僕も解いてみました！文系数学は２種類あるらしーんですが、今回は数学Ⅱγって方の講評です！！数学Ｂγの方はこちらの記事↓をご覧ください。
アイキャッチ画像のように問題文も打ち込んだんですが、著作権とか怖いので(笑)
ちょっとぼかした感じで問題と解法を紹介していこうと思います！
１（答のみ解答、5点×2）
\(f(x)=x^3-3x^2\) の \(x=1\) から \(x=3\) までの平均変化率、及びそれと微分係数 \(f'(a)\) が一致するときの \(a\) を求める問題でした。
めぐろ塾の安田「平均変化率」って文系じゃあんまり登場しない言葉なので、戸惑った人も多いかも(笑)
文系じゃあまり使いませんが、この記事↓で解説してるんで、興味ある人は読んでみてください。
\[\displaystyle\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=f'(a)\]
の左辺を計算、この方程式を満たす \(a\) を求めるだけです。
２（答のみ解答、5点×2）
\(f(x)=2x^3-x^2-4x\) の極値をとる \(x\) と、\(-1≦x≦2\) での最大・最小値を求める問題。
めぐろ塾の安田微分して増減表を作っておしまい。
(1)「極値をとる \(x\) の値を求めよ」、(2)「最大値と最小値を求めよ」だったので、記述式だと(1)の段階で増減表を作成しとかないとダメです。「極値」は「\(f'(x)=0\)」以外に「その前後での符号変化」が必要なので。
個人的には記述式として出題して欲しかった(笑)
３（答のみ解答、5点×2）
(1) \(\displaystyle\int_{-2}^2 (2x^3-x^2-3x+4)dx\)
(2) \(\displaystyle\int_0^1(2x-1)^3dx\)
ってゆー積分計算です。
(1)は偶・奇関数の性質から、\(2\displaystyle\int_{0}^2 (-x^2+4)dx\) にするだけ。
(2)は理系なら置換積分とかで計算しますが…
めぐろ塾の安田文系なら展開して計算しちゃえばいいと思います
４（答のみ解答、5点×2）
\(\displaystyle\int_a^xf(t)dt=x^2+5x-6\) を満たす \(f(x)\) と \(a\) を求める問題。「積分方程式」って呼ばれる問題です。
両辺を \(x\) で微分したとき、左辺が \(f(x\) になることを分かっていれば、\(f(x)=2x+5\) はすぐに求まります。
\(a\) は元の式に \(x=a\) を代入して左辺の積分を０にするだけ。
５（記述式、10点）
前問と同じく「積分方程式」でしたが、
\[f(x)=x^2+\displaystyle\int_0^1(x-t)f(t)dt\]
から \(f(x)\) を求める問題だったので、計算が面倒でした。前問は「積分区間が定数」なので微分してればいいんですが、本問は「積分区間が定数」なので、
\[f(x)=x^2+x\displaystyle\int_0^1f(t)dt-\displaystyle\int_0^1tf(t)dt\]
と変形し、\(a=\displaystyle\int_0^1f(t)dt\:,\:b=\displaystyle\int_0^1tf(t)dt\) とおけば \(f(x)=x^2-ax-b\) とできることから、置き換えの式を具体的に定積分計算して \(a\:,\:b\) の連立方程式を導く必要があります。
めぐろ塾の安田\(a\:,\:b\) の値も複雑で、連立方程式を解くのもダルかったです。
この系統の問題で、文系で２文字以上おかせる問題は少ないんですけどね。2023京大文系数学５は３文字おかせていたので、これを参考にしたのかもしれません。
めぐろ塾の安田日々の業務でお忙しいでしょうに、問題研究を怠らない小山台高校の先生に頭が下がりますm(_ _)m
６（記述式、20点）
接点求める誘導とかがあった上で、\(y=2x^2-8x-7\:,\:y=2x^2-4x-3\) 及びその共通接線で囲まれる面積を求めるってゆー、受験での超有名問題でした。
それぞれの接点の \(x\) 座標を \(s\:,\:t\) として接線公式により接線を２通りで立式、その傾きと \(y\) 切片を一致させることを考えれば \(s\:,\:t\) が求まります。
後は真面目に積分計算しないでも、
\(\displaystyle\int\{(2x^2-\cdots-(接線)\}dx\)\(\:=2\displaystyle\int(x-接点の\:x\:座標)^2dx\)
で代入計算を楽できるって常套処理なんですが…
めぐろ塾の安田うちの生徒…真面目に計算しちゃってました…なぜかってゆーと…我が↓
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の現高３生の授業、めぐろ塾の設立が去年末だったので、高２終盤開始で…
めぐろ塾の安田時間がない！毎回30分延長しても全部終わらせられるかが不安！！まだ授業でここの内容まで入れてない！！！
授業してれば解けたはずなのに…悔しい…
７（記述式、15点）
\(a>0\) での \(\displaystyle\int_0^1|x^2-a^2|dx\) の最小値を考える問題。
絶対値が被積分関数全体についているので、\(x\) 軸と囲む面積と考えます。\(y=|x^2-a^2|\) のグラフは \(a\) の値によって動くわけですが、グラフを動かすと混乱するので…
グラフは固定し、積分区間 \(0≦x≦1\) を動かすことで場合分けに気づく
のが良いでしょう。\(0<a≦1\) で \(a\) の３次関数、\(1<a\) で \(a\) の２次関数が立つので、増減を１つの表にまとめて最小値を判断します。
８（記述式、15点）
\(a>0\) で \(x^3-3ax^2+4a=0\) の実数解が１つになるような実数 \(a\) の範囲を求める、３次方程式の解配置問題。
めぐろ塾の安田左辺を \(f(x)\) とし、\(y=f(x)\) と \(x\) 軸の共有点が１つになるようにするだけ。
\(f'(x)=0\) が \(x=0\:,\:2a\) となり、これらの大小は決まっているので、特に場合分けもありません。
極大値 \(f(0)=4a>0\) より、極小値 \(f(2a)>0\) とすれば終了です。
講評
進学校の文系数学の定期試験としては…
| 出題範囲 | 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|---|
| 数学Ⅱ 「微分法と積分法」 | １～４は答のみ解答、 ５～８は記述式 | 50分 | ８問 | ちょうどいい感じ |
の難易度だと思います。
めぐろ塾の安田僕は30分弱で３(2)の積分計算をミスって95点でした(笑)
平均点も60点くらいとのことで、テスト作った先生の狙い通りって感じでしょう。
因みに職業柄分かってしまうんですが(笑)
このⅡγのテストを作った小山台高校の先生、僕と同じ数研出版のソフトを使って数式打ち込んでいらっしゃいました。
- 細かいレイアウトが数研出版のそれでない
- 配られた解答の一部が手書きだった
ことからして、ほとんどの問題を先生ご自身で作問してらっしゃるように感じます。
めぐろ塾の安田ホント日々の業務もお忙しいでしょうに…頭が下がりますm(_ _)m
この記事を見てる小山台高校の高１・２年生の人、過去問入手しても、この先生は毎年問題変えてきそうだから安心できないよ！(笑)
中盤以降の問題は、全て大学受験数学で頻出な良問です。ちゃんとした数学力をつけて臨んでください！
めぐろ塾の安田ちゃんとした英語・数学力をつけたかったら、小山台高校から近い「めぐろ塾」への入塾も検討しよう↓(笑)
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君の定期試験や大学受験が最高の結果になることを祈ってます！