「平均値の定理」を徹底解説！

指導歴20年、現役で早稲田理工なのに現役時「平均値の定理」がビミョーだった私めが…

↓のグラフの状態だけ覚えておけばオッケー！

端（\(a\:,\:b\)）の大小が確定している場合はこれ↑でいいんだけど…

端（\(a\:,\:b\)）の大小が分からないときは、↑のように記述するクセをつけておきましょう！

少々マニアックな話になるので、次項に進んで構いません。

なんだけど…ウゼーことにここで…

僕は一応プロとしての義務感で暗記してますが…
「生徒にここまで意識させる必要あるか？」って気がするので…

↑は「端の大小分からないバージョン」で書いたので、「端の大小確定バージョン」で具体例を示します↓\(f(x)=\log x\) の場合であれば…

「なめらか」に「つながっている」グラフでは絶対に成立する定理なので。僕は常に頭の中で３次関数チックなグラフをイメージする、って決めています。

ほとんどの解答、「平均値の定理」を使うときに連続と微分可能は断ってないんですよね…10年前くらいまでは自分のプリントにしっかり記述してたんですけど、記述しない解答に打ち直しました(笑)

これだとざっくりし過ぎてて、どのタイプの問題で使うのか迷っちゃうよね(笑)

あんまり出題されていません(笑)

代入すると \(\displaystyle\frac{0}{0}\) の不定形になりますが、公式 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=0\) やはさみうちの原理で計算できない形です。分母に「変数の差」・分子に「関数の差」があることから、「平均値の定理」の利用に気づきましょう。問題文にわざと \(f(x)\) を使って解答を書きにくくしておきました(笑) \(g(x)\) 辺りを使って、これと端に当たるものを読み取りましょう。常に↓のようにグラフをイメージするのがオススメです。

全然 \(y=\cos x\) は↑の形じゃないですけどね(笑)
なめらかにつながってるグラフなら絶対に成立するのが「平均値の定理」なんで、形なんてどーでもいいです。端に当たる \(x\:,\:\sin x\) の大小は０の前後で切り替わるので、端の大小分からないバージョンでいきましょう↓

これで \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0}(-\sin c)\) と計算対象をシンプルに書き換えられましたが、書き換え後が \(c\) の式なので、\(c\) の飛ぶ場所を求めなければなりません。\(c\) が、\(x\) と \(\sin x\) の間であることから、「はさみうちの原理」を利用します。

他大ではほとんど目にしないんですが…東京医科はホントに記述専用的な知識をマーク式の問題に落とし込む作問が上手い…
「平均値の定理」に気づきにくい問題です。
僕も当時解いてて５分くらいフリーズしたから、試験時間内じゃ厳しかったかも(笑)

って思えるようにしておいて欲しいくらい。
そろそろ出題されるかもよ？(笑)

与不等式の左辺に「関数の差」が登場していますが、「変数の差」\((n+9)-(n+8)=1\) が分母にあるって気づくのが難しい＝「平均値の定理」の利用に気づきにくい問題です。因みにイマイチ十分性が曖昧になるので、最後に断りを入れてますが、マーク式なのでこの部分は気にしなくていいです、ただのプロとしてのプライド(笑)

と言ってしまって良いくらい、上位校での典型問題です。
知ってなきゃ絶対解けない(笑)

ってことになる…
知らなきゃ絶対ムリだろ、こんなの(笑)

採点者側からすると式変形の解答を想定しているので、採点しててちょっとイヤになるから(笑)

「平均値の定理」の利用に気づいたら、取りあえず \(a_n\) と \(\alpha\)（極限値）で平均値の定理を使っちゃうのがオススメです。後は \(\alpha=f(\alpha)\) を唱えてれば何とかなる(笑)

\(e^{-c-1}\) を評価して、漸化不等式を完成させましょう。\(c>0\) を使えば \(●=\displaystyle\frac{1}{e}\) で \(0<●<1\) となり成功です。\(c\) は「\(a_n\) と \(\alpha\) の間」だから、\(a_n>0\) と \(\alpha>0\) を言えばオッケー！ \(\alpha>0\) は問題文から明らかですが、\(a_n>0\) は断るべきで、厳密には帰納法で証明するので「帰納的に」って言葉を入れておくとベストです。

漸化不等式が完成したので、繰り返し使ってはさみうちの原理を使えば証明終了です。↑の評価の詳細で混乱しちゃった人も、当てカンで \(\displaystyle\frac{1}{e}\) 辺りを使って強引に漸化不等式を立ててしまい、↓の過程は書きましょう。部分点はもらえるはず(笑)

この記事の趣旨からは外れるので削除しましたが、実際は「\(x=f(x)\) がただ１つの実数解を持つ」ことも証明対象でした。しかも(2)での評価を見越して、「\(x>0\) に」って部分は自分で見抜かないといけないし…それでも15分くらいしか使えないし…(笑)
大学受験の厳しさを認識してくださいm(_ _)m

「平均値の定理」なんて、グラフからすれば当たり前！

こんなカンタンな定理をおさえていないのはもったいない！

受けた大学で出題されなくて良かった～