解けない漸化式と極限

を持っている人もいるんじゃないでしょうか？この記事では、こんな疑問を徹底的に解消して差し上げますm(_ _)m

結論：ほぼほぼ解き方を暗記しておくべき

受験で大事なのは難易度よりも頻出性

めぐろ塾の解答速報で書いている2023～2025だけで言っても、

• 2024慶應理工１(2)
• 2025上智理工共テ併用１
• 2025千葉大４

で出題されており、１年に上位校で１回程度は出題されている頻出内容と言えます。

受験で大事なのは、頻出問題を確実に解答すること
↓
この類問が出題されて、全く手が出ないのはアウト！

です。そして…

類問経験がない人が初見で解くのはムリ

この後の解説を見ても痛感できると思います。頻出性を認識し、ほぼほぼ解法を暗記するように努めてください。

誘導ナシで解けるようにしよう！

冒頭で紹介した通り、このタイプの問題は誘導アリで出題されることが多いんですが、全く誘導ナシで出題されることもあるので、誘導ナシの場合の解法を暗記した方がいいです。

問題

この漸化式は解けない

この問題の漸化式は「解けない」＝「一般項が求められない」扱いになります、大学受験では。一応…

の②や③を知っていれば一般項は求められるんですが…大学受験では、

• 誘導ナシで一般項を求めさせる場合　→　①・④で出題（④は「推測＋帰納法証明」）
• ②・③を使う場合　→　問題で誘導を与える

この問題は \(s≠0\) より①ではなく、漸化式の特性方程式は、　\(t=\displaystyle\frac{5t+9}{t+5}\)

分母を払って、　\(t^2+5t=5t+9\)　　∴　\(t=±3\)

となり、特性方程式が重解を持つタイプ④でもありません。よって紳士協定から、大学受験ではこの漸化式の一般項は求められない扱いになります。

でも極限値は分かる

一応↑は公式化しておくべきですが、

\(\infty\) からしたら１や２なんてカスみたいなもん
↓
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\) ならば…
↓
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n-1}=\alpha\) 、
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\alpha\) 、
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+2}=\alpha\) 、
大きくずれても \(\infty\) に比べたらカスで… \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+10000}=\alpha\)

因みに記述式の場合、これで終わりにするとほとんど点数はもらえません….

よって以下、

極限が直接計算しにくい　→　「はさみうちの原理」を利用

という大学受験数学の法律に基づき、これを示します。

\(\alpha=3\) に収束するのを示すのマジでムリ

収束値は０の方が嬉しい！

ことを意識しましょう。今 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=3\) なので、

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(a_n-3\right)\)＝０

の方が嬉しい！

「はさみうちの原理」で示すので、

\(■<a_n-3<▲\) かつ \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}■=\displaystyle\lim_{n\to\infty}▲=0\)　が目的
↓
\(■\) か \(▲\) のどっちかは０にすると楽

ですが… \(a_n\) と \(3\) の大小比較とかダルいので…

絶対値つければいいじゃん！

\(a_n\) と \(3\) の大小比較をするまでもなく↓

\(0≦|a_n-3|\)\(\:<▲\)

因みに不等号の「＝」のアリ・ナシはあまり気にしないでオッケーです。はさみうちでは「＝」のアリ・ナシは結果に影響しないので。

以上から、この後の最大目標は

\(|a_n-3|<▲\) かつ \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}▲=0\)　を導く

ことになります。これを導くのに…

漸化不等式が必要

「漸化不等式」という言葉は一部の参考書では使われていますが、正式名称ではありません。これの暗記が一番大事で、大体は↓のような形になります。

今回の問題では \(\alpha=3\) なので、漸化不等式は、

\(|a_{n+1}-3|<●|a_n-3|\)
ただし、\(0<●<1\)

です。

高校数学で一番解かされるのは何数列の漸化式？

等比数列！

って即答できなかった人は、もう少し数列の勉強をしてからこの記事を読んだ方がいいかと思います。

漸化不等式の覚え方

以上が今回の問題における漸化不等式の覚え方です。漸化不等式は、この後の内容も合わせて複合的に暗記するものですが、ある程度の形は覚えておかないと導きようがないので、取りあえず上のように暗記しましょう。

ここまでの解答

漸化不等式を導こう！

漸化不等式を繰り返し使う

解答（完成版）

誘導アリで解いてみよう！

問題（2021信州大）

考え方

(2)で漸化不等式の導出が要求されていることに注目しましょう。漸化不等式の形から、\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=3\) であることが分かるので、漸化式の両辺の \(n\) を \(\infty\) に飛ばして極限値を求める必要はありません。

(1)は、漸化不等式の公比っぽいもの

\(●\) の評価に利用する \(a_n\) の範囲の立式誘導
↓
数学的帰納法で証明

するのが常套です。暗記しておきましょう。

(2)の漸化不等式の立式ですが、漸化不等式の左辺に漸化式を代入した後、

漸化式がルート型　→　分子の有理化

を行うのが有名で…これも暗記して欲しい…

公比っぽいもの \(●\) の評価では、前述の通り(1)を用いますが、同値変形で導けば良いでしょう。

• 右左辺のどちらを採用するのか
• ルートを、問題文で登場する \(\displaystyle\frac{4}{5}\) が登場するように評価する

点に注意してください。

(3)は、(2)の漸化不等式を繰り返し用いて、はさみうちの原理を利用するだけです。

解答

応用型

漸化不等式の立式に「平均値の定理」を利用するタイプの問題も、非常に有名で上位校で頻出です。

これについては次回の記事で詳しく掲載予定。

まとめ

こんな長い記事をここまでマジメに読んでくれたのに…

でも、あまりに有名問題であるがゆえ、

上位校では、サービス問題として出題される
↓
全く手が出なかったら、そのテストは終わり

になっちゃいます。

って恥ずかしい大人にならないように、頑張って解法を暗記してください！

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！