2023東大【理系数学】解答速報

2023東大【理系数学】解答速報

2023東京大学の理系数学の解答速報をお届け!

めぐろ塾の安田

できませんでした~、「解答遅報」です(笑)
京大と一緒で↓

でも京大と同様、プロ講師は毎年の東大の理系数学は解かないといけないってゆ~法律があるので(笑)

めぐろ塾の安田

どーせ解くから、今年はペンじゃなくちゃんとソフトで打ち込みながら解きました~。私めの解答はこのブログでさらさせて頂きますm(_ _)m

我ながら、凡人が試験時間内で書きうるベスト解答を作成させて頂いたと自負しております!

めぐろ塾の安田

後発なんで、他の「解答速報」さんの解答も見て研究させて頂いたから(笑)

目次

第1問

問題

問題1問題

考え方

東大受ける人なら見た目から、

区分求積っぽいな~

って思っときましょう。(2)で使います。

めぐろ塾の安田

(1)は取りあえず \(x^2=t\) で置換積分して形を書き換える

後は積分区間から分母を評価して、その不等式の全辺にインテグラルをくっつければいいって有名内容です。

両サイドの積分計算では、「一山・一谷分でsinの符号は一定」ってことから、\(\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|dt=\left|\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\sin tdt\right|\) というように、絶対値をインテグラルの外にだすってゆー処理が必要ですが…

めぐろ塾の安田

\(\displaystyle\int_{0}^{n\pi}|x\sin x|dx\) の計算ってクソ有名問題でやる処理だから、東大受けるなら筆が止まっちゃダメ!

(2)は(1)の不等式の全辺にシグマをくっつけて、両サイドを区分求積法で計算します。

見た目ムズそ~な問題ですが、有名処理ばっかりで計算量も多くないので、今年のセットだとこれを外すと厳しいです。

めぐろ塾の安田

東大の数学は、比較的難易度順に大問が並んでいる(後ろの方がムズイ)ことが多い

ってことを、過去問対策を行って知っている人が有利でしょう。

解答

第1問(1)解答
第1問(2)解答

第2問

問題

第2問問題
看板
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めぐろ塾の安田

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考え方

めぐろ塾の安田

最近の東大は「n回試行の確率」を出題してくれないですね…

2012~2016まではこればっかりだったんで対策しやすかったんですが。

<方針1> n回の過程を具体的に考える → シグマを使うことが多い

<方針2> 確率漸化式

ってゆー2つの解法しかないので。

めぐろ塾の安田

ってか「確率」自体が最近は出題されていませんでした。

「条件付き確率」であることを除けば、

  • 隣り合う」は「カタマリ」にする
  • 隣り合わない」は「隙間と両端」に入れる
  • 確率」では「場合の数」とは異なり、同じものを区別する(上記2つの処理は「場合の数」の問題として頻出なので)

とゆー、中学校受験の知識でも解ける問題ですが…

めぐろ塾の安田

計算は面倒ですね、僕は無事にミスりました(笑)

因みに他の「解答速報」さんでは、君たちへの説明の意味を込めて大量の記述をしていましたが、実際の試験では解答用紙にそんなに書いてるスペースもなく、採点者にも好まれません

めぐろ塾の安田

僕の解答のように、方針をシンプルに記述して、後の考え方は式でアピールするのがベストに思えます。

例えば(2)の(Ⅱ)の場合分けの分子の式を詳しく説明すると、

白玉5個を並べて5!、黒玉2個のカタマリを作ってカタマリ内の並べ方を考えると \({}_3P_2\) 、白玉の隙間と両端に黒玉2個のカタマリと残りの黒玉1個を並べるので \({}_6P_2\)

黒玉2個の間に入れる赤玉を選ぶので \({}_4C_1\) 、これ以外の白玉と黒玉の隙間と両端の8つに残りの赤玉3個を並べるので \({}_8P_3\)

ですが…

めぐろ塾の安田

採点者もこんな文章見たくないでしょ(笑)
「白玉と黒玉を並べる」と「その隙間と両端に赤玉を並べる」計算の間にあえて「×」を書くことで、採点のしやすさに配慮しています。

因みに解答中の最後の \(q\) の計算過程は残さなくて良いでしょう。ソフトで打ち込みながら計算してたんで、一応残しておきました(笑)

解答

第2問(1)解答
第2問(2)解答

第3問

問題

第3問問題

考え方

めぐろ塾の安田

(1)はカンタン

東大受けるなら、上位校では頻出の「放物線の軸上に中心が乗る円や楕円との共有点の問題」の経験はあるでしょう。

接する場合を考えて、円の中心をそれより上にするだけ!接する場合の \(a\) の確定は、解答のように法線で処理するのが一番楽です。

めぐろ塾の安田

(2)はムズイ

文章が意味不明っぽく見えるのは東大の特徴です。取りあえず弦の長さ \(L_{\textrm{P}}\) を立式しましょう。変数を角度にするのは明白です。ひたすら…

円の接線を立式

\(y=x^2\) と連立した方程式の解を \(\alpha\:,\:\beta\) とおく

弦の長さを \(\alpha\:,\:\beta\) で表して解と係数の関係を利用

ってゆーチョー有名内容を進めるだけですが…

めぐろ塾の安田

計算がメンドイ…しかもできる人だと \(\sqrt{1+\tan^2\theta}\) とか条件反射でルート外しちゃうと思うんだけど…これやっちゃうとこの後の方針が見えにくくなるってゆ~(笑)

正しく計算を終了できれば、\(\displaystyle\frac{1}{\cos\theta}\) の置き換えに気づけ、意味不明な文章をルートの中の4次関数の極値の存在と考えれば良いことが分かります

めぐろ塾の安田

因みに僕は計算ミスで \(L_{\textrm{P}}\) が三角関数のチョー変な形になって、「流石にこれはなくね?」って思って他の「解答速報」さんをカンニング!(笑)

そしたら \(L_{\textrm{P}}\) の式だけ見るつもりが…その後の「4次」とか「極値」って単語も目に入っちゃったんですよね…

カンニングするつもりないとこまでカンニングしちまって…

めぐろ塾の安田

罪悪感がハンパなかったんで、「極値」って言葉を使わない解答を書いてやりました(笑)

最後まで解き切るのは厳しい問題なので、解と係数の関係を利用するとこまでの部分点を獲得しましょう、それ以前で計算ミスっててもある程度の点数はもらえるはずです。

もし \(\displaystyle\frac{1}{\cos\theta}=t\) の置き換えにまで気づけたら、「\(t\) と \(\theta\) の個数は1:1に対応」という文章は必ず書きましょう

めぐろ塾の安田

作問的にこの記述には確実に部分点を設置してると思います

解答

第3問(1)解答
第3問(2)解答①
第3問(2)解答②

第4問

問題

第4問問題

考え方

めぐろ塾の安田

(1)、(2)はカンタン

(1)は \(\textrm{P}\:(x\:,\:y\:,\:z)\) っておいて内積計算3つから連立方程式を解く。

(2)は \(\overrightarrow{\textrm{OH}}=(1-t)\overrightarrow{\textrm{OA}}+t\overrightarrow{\textrm{OB}}\) っておいて、\(\overrightarrow{\textrm{PH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AB}}=0\) から \(t\) を確定。

めぐろ塾の安田

(3)はムズイ。(2)が作問者からのヒントってことに気づけるかが大事。

空間座標の問題に慣れている人であれば、

(2)はなんで「Hの座標を求めよ」になってないんだろう?

って思うはずです。まさにこれはヒントで、

AH:HBが求まったことに注目しなさいよ~

ベクトル的な簡易作図で解けるようにしてあげてるよ~

ってゆー作問者側からのメッセージなんですよね。これに気づいて冷静に情報を整理すると、解答のような図が描けます。

因みに、球の半径の最小を求める際、Qから辺OHへ垂線を下ろせることを確認しないといけないので、

めぐろ塾の安田

オレ「三垂線の定理」って言葉知ってるんだぜ?って知らない人にマウントをとるような解答を書いてやりましたが…時間内じゃムリですね(笑)

「三垂線の定理」なんて大学受験じゃあんま使わないんで、ググらなくていいですよ(笑)

ってか解答の最初の空間図さえある程度描ければ、「辺OH上が一番近そうじゃね?」ってことで計算でゴリ押せます。

めぐろ塾の安田

試験中は悩むより手を動かせ!上記に全く気づけなかった人も、最大値は三角形の頂点のときに決まってるから最低限これは求めとかないとダメだよ!!

解答

第4問(1)(2)解答
第4問(3)解答①
第4問(3)解答②

第5問

問題

第5問問題

考え方

めぐろ塾の安田

(1)は合同式の性質の証明法を知っているかが大事

「積の余り=余りの積(の余り)」なんて合同式で公式化しちゃいますからね。これの証明は、

余りが等しい → 差が倍数

で行う、ってことを理解しているかを聞いてくるってゆー、何とも東大らしい問題です(笑)「整数」じゃなくて「整式」なんで合同式は使えない(厳密には「大学受験では使っちゃまずい」)から。

因みに、差の因数分解では以前の記事で紹介した有名因数分解公式を使っていますが…全部打ち込むのがダルかったんで「……」で省略しちゃいました(笑)すいませんm(_ _)m

めぐろ塾の安田

(2)はムズくないけど、最初混乱する(笑)

冷静に \(g(x)=h(x)^7\) を当てはめてください、僕は何かミスりました…生きててすいませんm(_ _)m

その後は、

  • 商と余りを設定して、恒等式を立式
  • \(f(x)\) を0にするように数値代入法
  • \(f(x)\) が2乗を因数に持つので、微分した式にも数値代入

とゆー有名処理ですが…何か場合分けの(Ⅱ)で、\(1+a+b=0\) が不適って気づけずミスりました…

めぐろ塾の安田

生きててすいませんm(_ _)m

解答

第5問解答①
第5問解答②

第6問

問題

第6問問題

考え方

めぐろ塾の安田

講師人生20年目にして初見の問題(笑)

素晴らしいですね、東大の作問は。毎年毎年受験者が既視感を覚えない問題を作ってくるヤル気が素晴らしい(笑)

しかし…受験者でこれ完答した化け物いるんですかね…(笑)

問題を嚙み砕くと、

(1)は、フタのない立方体の箱の真ん中を端とする棒の通過領域の体積

(2)は、その棒を折り曲げてもいいとした場合の通過領域の体積

めぐろ塾の安田

を立方体外部で求めて、立方体の体積と足せばいい感じ。

僕は(1)の段階で \(V\) の \(y=t\) での断面を考えてたんですよね。ほんでそれを \(0≦t≦1\) で定積分して2倍、自信満々で他の「解答速報」さんと答え合わせをしてみたら…

めぐろ塾の安田

違ってるんか~い

でメンタルをやられる(笑)

めぐろ塾の安田

立方体がなくなる \(1≦t≦\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}\) にも断面が存在することを理解するのに結構時間かかった…

悔しくて、この断面積も求めて強引に計算しようとも思いましたが、メンドすぎて断念しました。

ほんで、他の「解答速報」さんの有難い解答で理解させて頂いた解答を打ち込ませて頂きました…生きててすいませんm(_ _ )m

めぐろ塾の安田

でも(1)で \(V\) の \(y=t\) での断面を考えてたおかげで、(2)はそんなに迷いませんでした。棒を曲げていいから、扇形くっつけるだけ

因みに、解答中の点Pは \(y=t\) 上で、\(xy\) 平面で見るとO、は同一直線上です。この部分は結構混乱させて頂きました(笑)解いた後にいろいろ検討してみましたが、論述の必要はないかと思います。

また、球の中心から \(t\) 離れた断面の円の半径が \(\sqrt{r^2-t^2}\) であることは、上位校受ける人からすればほぼ公式なので、その論証は省いています。

解答

第6問(1)解答
第6問(2)解答①
第6問(2)解答②
第6問(2)解答③

講評

全部打ち込み終わって他の「解答速報」さんの難易度見たら…「変化なし」になってて…

めぐろ塾の安田

お前ら正気か!?

って思って去年の問題見返したら…

めぐろ塾の安田

去年もムズかったんですよね、忘れてました(笑)第2問が整数でムズイいし、第3問がクソめんどかったし、第6問でモデル化なんて気づけるかぁああああああー、だったのを思い出した。従って…

解答方式試験時間大問数難易度
記述式150分6問去年と同レベルのヤバさ

例年はもっと解きやすいですよ、来年受ける人はメンタルをやられないように(笑)

今年のセットだと、 第1問完答で20点 + 第2・5問ちょいミスで約30点 + 第3問(1)で約5点 + 第4問(1)(2)で約7点 = 約62点/120点 くらいを確保するのはマスト!

残りでどれくらい上積みできるかの勝負になると思います。

めぐろ塾の安田

「解答遅報」になっちゃったから、見てるのは2024受験する人が多いのかな?

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

看板
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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

「武蔵小山駅」7分、「不動前駅」9分、攻玉社・小山台高校から徒歩圏内、日本全国どこからでも受講可能!

な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。

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