2023東北大【文系数学】解説・解答・講評

2023東北大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします！

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

１

早速、理系数学の１と共通問題。

２

問題

考え方

座標平面が大好きな僕は、

座標平面に帰着、円 \(C\) の中心Ｏを原点、Ｌ \((4\:,\:0)\) に
↓
接線の傾きを \(m\) と設定、\(d=r\) で接線を決定
（「接線と中心の距離」＝「半径」）
↓
円 \(C\) の方程式 \(x^2+y^2=1\) と連立して、ＭとＮの座標を決定

という手法をとることにしました。というのも、

直線ＭＮは、点Ｌを極とする「極線」
↓
極Ｌ \((4\:,\:0)\) を接点として接線公式を使った \(4\cdot x+0\cdot y=1\) となる

ことが明白で、計算ミスのリスクがないからです。

これで(1)の三角形の面積計算が終了したら、(2)では、

• 内接円の半径 \(r\)　→　三角形の面積を利用
• 外接円の半径 \(R\)　→　正弦定理を利用

して求めるのが普通です。前者は(1)が誘導になっているので普通に計算しましたが、

外心は、「辺の垂直二等分線の交点」
↓
今回は辺ＭＮの垂直二等分線が \(x\) 軸となっているので、外心を \((a\:,\:0)\) と設定

し、三角形の頂点との距離の一致から外心の座標を決定して計算しています。

ま～どう解いてもいいです。でも難易度的に絶対に外さないでください。

解答

３

問題

考え方

「文字定数入り２次関数の最大・最小」という、超典型問題です。最高次の係数が正で放物線は下凸なので、

• 最大値　→　区間の中央と軸の左右関係の２つで場合分け
• 最小値　→　軸が区間に含まれるかの３つで場合分け

因みに他社さんの解答ではグラフを動かしてるとこが多いと思いますが、

僕の解答のように、絶対にグラフは固定して区間を動かす

クセがついていた方がいいです。高次になると、グラフを動かそうとすると動きが複雑すぎて破綻するので。ってかこの問題きたら、即座に解答のような図を作図するクセをつけてください、頻出すぎる(笑)

また(3)は、２次のグラフを３つ作図するのが普通だと思いますが、

この系統（絶対値系の問題を含む）の「つぎはぎ関数」は、
場合分けの変わり目でつながる（理系表現で言うと「連続」）
↓
最大・最小を求めるときは、全場合分けを１つの増減表にまとめる

のが一番カンタンなので、その方法で解答を書いています。

解答

４

問題

考え方

理系数学の６の類題でして、これを先に解いてた僕は、

• 常に \(\overrightarrow{\textrm{PQ}}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\) だから、図形的に読み取る
• (1)では、（２つの平行四辺形の面積の和）－（共通部分の三角形の面積）で計算

ってゆーストーリーが読めた状態で解いてしまったからです。

線分の通過領域が図形的に読み取れることは、(1)と(3)で \(y=f(x)\) が変わることから（理系数学の６よりは）気づきやすいと思います。

(2)から新しい問題になってることに気づき、一番カンタンな(2)を解く
↓
誘導と思って(3)を解く

ってできたら成功でしょう。解答のように(3)はほとんど計算ないんで。(2)の正解はマストです。

解答

講評

ですね。大問４はキツイと思いますが、大問１～３がカンタンなので。

大問１～３・4(2)をどれだけミスなくとれたかの勝負だったと思います。

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！