2023慶應商【数学】解答速報

2023年4月22日2023年6月21日

2023慶應義塾大学商学部の数学の解答速報をお届けします！

めぐろ塾の安田

ま～もう「速報」とは言えず「遅報」なんですけどね(笑)
今後の記事で使う可能性が高いんで、私めの解答はここにさらさせて頂きますm(_ _)m

Ⅰ

問題

考え方

(ⅰ)は、\(\log\) の積の形があるので置き換えです。\(\log_{10}x=X\:,\:\log_{10}y=Y\) とおき、\(xy^2=10\) の両辺の常用対数をとった式から文字消去を行って、２次関数の最大に持ち込みましょう。

めぐろ塾の安田

因みに置き換えしたときは変域を調べるのが普通だけど、全実数になるから解答ではそこは省きました。最大値をとる変数の値の明記も省いた、ど～せマーク式だし(笑)

(ⅱ)は、「円と直線が共有点を持つ」→「\(d≦r\)」ってのが公式化されてれば瞬殺。

(ⅲ)は、

「立体は断面を抜き出して考える」ってゆー基本を守る
「正三角形」＝「二等辺三角形」と中点がたくさん登場してるから、「二等辺三角形を見たら即座に半分に割る」を使いまくる

だけですが、受験者の出来は良くない気がします。

めぐろ塾の安田

文系だと空間に拒絶反応おこす人多いよね(笑)
解答の断面ＡEＤのＡから下ろした垂線の足は底面の重心になります。正四面体の体積計算で使う断面だから、この経験ある人が有利かな

解答

Ⅱ

問題

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めぐろ塾の安田

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考え方

文系での求積の出題の３割くらいを占める、「放物線と２接線の囲む面積」についての問題です。なんで良くでるかってゆーと、どんな放物線に対しても…

放物線と２接線の囲む面積

２接線の交点の \(x\) 座標は、接点の \(x\) 座標の平均
「２接点と放物線の囲む面積」：「２接線と放物線の囲む面積」＝２：１

になるから。

めぐろ塾の安田

記述式では証明なしで使っちゃダメだよ！

今回はマーク式ですが、知ってても(ⅰ)、(ⅲ)の後半がちょっと簡単になるくらい。一応解答では、(ⅲ)の後半の面積計算で上は使わず、∫(上－下)dx＝∫(因数分解)dxで代入箇所を減らして計算する、ってゆー記述式での模範解答を載せておきます。

他は「座標平面上での２直線のなす角」→「\(\tan\) の加法定理を利用」ってゆー有名処理です。

解答

Ⅲ

問題

考え方

(ⅰ)は、この記事のここで紹介してる「１次結合」の＜解法３＞を用いるだけです。

めぐろ塾の安田

(ⅱ)が鬼門ですね。同じことの繰り返しだから…

漸化式を立式するのは明白なんですが、フツーに考えると３項間漸化式になるので、

ベクトルで３項間漸化式なんて使っていいの？

めぐろ塾の安田

って思う人が多いかと。安心して、解いてて僕もそう思った(笑)

発生する演算が和・差や実数倍だけなので、通常の３項間漸化式と同様に処理できます。ま～でも初項の考察もムズイので、受験者の出来は良くないでしょう。

因みに、他の解答速報さんで \(\overrightarrow{\textrm{P}_{n+1}\textrm{P}_{n+2}}=-\displaystyle\frac{1}{5}\overrightarrow{\textrm{P}_{n}\textrm{P}_{n+1}}\) を立式して２項間漸化式で処理する解答を載せてるとこがあって、個人的に感動しましたが(笑)計算量的なメリットはありません。

(ⅱ)さえできれば、(ⅰ)と(ⅱ)の結果を使った計算ってだけで、(ⅲ)は簡単です。