2023大阪公立大【文系数学】解説・解答・講評

2023大阪公立大【文系数学】解説・解答・講評

2023大阪公立大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします!

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

目次

第1問

問題

第1問問題

考え方

問1は、4回のうち赤玉が2回、白玉が2回出る確率を、丁寧に順番を考えて計算して足すだけ。

めぐろ塾の安田

順番は全部で \({}_4\textrm{C}_2=6\) 通りありますが、赤玉と白玉の立場の対等性を考えれば、解答のように3通りで解決できます。

問2はn回試行の確率」の<方針1>「n回の過程を具体的に考える」<方針2>「確率漸化式」のうち、<方針1>「n回の過程を具体的に考える」1回だけ出る白玉が \(k\) 回目にでたときの確率を考えると、\(k\) が消えるので、シグマを使わずとも計算できます

めぐろ塾の安田

こ~聞くとカンタンに思えるかもしれませんが… \(k\) の範囲に注意が必要です!

解答の最初の式をまず書いてしまうのが良いでしょう。

第1問解説

赤の部分は回数を示しています。これが0回になるのはオッケーで、負になるとアウトです。これで \(k\) の最初は2、最後は \(n\) であることが分かります。試行は \(n+1\) 回行われるので、\(k=1\:,\:n+1\) の場合は別に考えて、全てを足せば終了。

問2さえクリアすれば、問3は問2の結果に \(n=4\) を代入して、\(\alpha\) の4次関数の最大を考える(\(0<\alpha<1\) での増減表を作成する)だけなのでカンタンです。

解答

第1問解答①
第1問解答②

第2問

問題

第2問問題

考え方

数列の問題というよりは、

  • 指数法則を正しく暗記しているか
  • 合同式を正しく使えるか

を問うてくる問題です。

問1は、ただ計算するだけ。

問2は、\(b_n\) を実際に計算し、指数法則と因数分解公式から約分に気づく。

めぐろ塾の安田

解答では分かりやすいように、\(x\) っておいときました。

そ~すると、分子が偶数って言えれば良いことが分かるので、mod 2 で考えて終了。

問3は、\(b_n=\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\) を \(a_{n+1}=b_na_n\) って変形すれば、問1と問2から \(a_n\) は整数に決まってるけど、一応帰納法証明。

問4は、\(a_{n+1}=b_na_n\) と問1から、\(b_n\) が奇数であることを証明すれば良いってことに気づけるかが全てです。問2の分子を mod 4 で考えて証明しましょう。これだけで充分な気もしますが、最後に問3同様の帰納法証明も入れておいてください。

解答

第2問解答①
第2問解答②

第3問

問題

第3問問題

考え方

めぐろ塾の安田

問題文が長くてイヤになりますが…今年のセットの中で一番カンタンな問題です!

  • 対称軸である \(\ell_1\:,\:\ell_2\:,\:\ell_3\) は全て原点を通るので、\(\textrm{P}_i\) は全て単位円周上
  • \(\ell_1\:,\:\ell_2\:,\:\ell_3\) のなす角は \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) だから、同じ角がたくさん登場

することに気づければ、解答最初の図を描いて、\(t_1\) ~ \(t_6\) を即座に \(t_0\) で表すことができます。問1がこのヒントになっているので、この段階で \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\) で \(\textrm{P}_6\) まで描いてみた人は、問2で \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\) を \(\displaystyle\frac{\pi}{3}-t_0\) に変えるだけってできたでしょう。解答では一応 \(t_0=0\:,\:\displaystyle\frac{\pi}{3}\) の場合にも言及しておきましたが、なくても減点されないように思えます。

問3でも、\(\textrm{P}_0\) ~ \(\textrm{P}_6\) の流れを \(\textrm{P}_6\) ~ \(\textrm{P}_{12}\) に適用するだけなので、\(\textrm{P}_7\) ~ \(\textrm{P}_{12}\) の作図は不要です。

解答

第3問解答

第4問

問題

第4問問題

考え方

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では、本問のような長さ・面積・体積の最大最小問題を、総称して、

図形量の最大・最小

<方針1> 図形的考察

  ↓ ダメならば…

<方針2> 関数の立式

と教えています。2023早稲田理工の[Ⅴ]でも使っている通り、

線分と点の距離の最小

垂線を下ろせるかどうかで場合分け

というように<方針1>「図形的考察」で解答を書かせて頂きましたが…

めぐろ塾の安田

これって理系の「空間の回転体」で頻出の処理だから、文系にはキツくね?

って思って他にあげてるとこの解答を見てみたら…皆さん<方針2>「関数の立式」で、\(\textrm{Q}\:(q\:,\:3q)\)(\(0≦q≦1\))とおいて、2点間距離の公式から「文字定数入りの2次関数の最小」で解いてらっしゃいました。問題で \(\textrm{Q}\) って線分上の点がおかれてることからも、大学側が想定している解答はこっちかと思います(笑)

ま~答は一致してるんで、めぐろ塾は「図形的考察」でいかせて頂きますね。

めぐろ塾の安田

そっちの解答まで打つのメンドイっす(笑)

問1は垂線下ろせるかが際どかったんで、問2の一般結果から、問2の後に解きました。

また、問3では \(a\) の範囲が計算しやすい問2の(Ⅰ)・(Ⅲ)から先に片付け、(Ⅱ)はその範囲以外とすることで計算を効率化しています。

ま~どうやっても計算は面倒な問題です。答が当たらなくても、場合分けに気づいていることをアピールし、部分点を拾えれば大丈夫でしょう。

解答

第4問解答①
第4問解答②

講評

大阪公立大の問題を1年セットで解くのは初めてでしたが…2022も軽く解いてみた感じ…

解答方式試験時間大問数難易度
記述式90分4問変化なし

に思えます。バラエティーに富んだ、また非常に練られた良問ばかりで…

めぐろ塾の安田

個人的には解いてて楽しかったんですが…
文系にはキツくね?とは思います(笑)

  • 第3問が一番カンタンであることに気づけたか
  • 第1問の問2の答を当てられたか

が勝負の分かれ目になったものと思われます。第1問は問2を間違えちゃうと、連動して問3もアウトになっちゃうので。解説中でも話した通り、第4問は部分点を拾えてれば大丈夫でしょう。問2はそんなにカンタンではありませんが、ストーリーが読めてれば計算ミスは防げる問題なので完答して欲しいところ。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ!

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

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な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。

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