2023大阪公立大【文系数学】解説・解答・講評

2023大阪公立大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします！

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

第１問

問題

考え方

問１は、４回のうち赤玉が２回、白玉が２回出る確率を、丁寧に順番を考えて計算して足すだけ。

問２は「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」。１回だけ出る白玉が \(k\) 回目にでたときの確率を考えると、\(k\) が消えるので、シグマを使わずとも計算できます。

解答の最初の式をまず書いてしまうのが良いでしょう。

赤の部分は回数を示しています。これが０回になるのはオッケーで、負になるとアウトです。これで \(k\) の最初は２、最後は \(n\) であることが分かります。試行は \(n+1\) 回行われるので、\(k=1\:,\:n+1\) の場合は別に考えて、全てを足せば終了。

問２さえクリアすれば、問３は問２の結果に \(n=4\) を代入して、\(\alpha\) の４次関数の最大を考える（\(0<\alpha<1\) での増減表を作成する）だけなのでカンタンです。

解答

第２問

問題

考え方

数列の問題というよりは、

• 指数法則を正しく暗記しているか
• 合同式を正しく使えるか

を問うてくる問題です。

問１は、ただ計算するだけ。

問２は、\(b_n\) を実際に計算し、指数法則と因数分解公式から約分に気づく。

そ～すると、分子が偶数って言えれば良いことが分かるので、mod 2 で考えて終了。

問３は、\(b_n=\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\) を \(a_{n+1}=b_na_n\) って変形すれば、問１と問２から \(a_n\) は整数に決まってるけど、一応帰納法証明。

問４は、\(a_{n+1}=b_na_n\) と問１から、\(b_n\) が奇数であることを証明すれば良いってことに気づけるかが全てです。問２の分子を mod 4 で考えて証明しましょう。これだけで充分な気もしますが、最後に問３同様の帰納法証明も入れておいてください。

解答

第３問

問題

考え方

• 対称軸である \(\ell_1\:,\:\ell_2\:,\:\ell_3\) は全て原点を通るので、\(\textrm{P}_i\) は全て単位円周上
• \(\ell_1\:,\:\ell_2\:,\:\ell_3\) のなす角は \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) だから、同じ角がたくさん登場

することに気づければ、解答最初の図を描いて、\(t_1\) ～ \(t_6\) を即座に \(t_0\) で表すことができます。問１がこのヒントになっているので、この段階で \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\) で \(\textrm{P}_6\) まで描いてみた人は、問２で \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\) を \(\displaystyle\frac{\pi}{3}-t_0\) に変えるだけってできたでしょう。解答では一応 \(t_0=0\:,\:\displaystyle\frac{\pi}{3}\) の場合にも言及しておきましたが、なくても減点されないように思えます。

問３でも、\(\textrm{P}_0\) ～ \(\textrm{P}_6\) の流れを \(\textrm{P}_6\) ～ \(\textrm{P}_{12}\) に適用するだけなので、\(\textrm{P}_7\) ～ \(\textrm{P}_{12}\) の作図は不要です。

解答

第４問

問題

考え方

めぐろ塾↓

では、本問のような長さ・面積・体積の最大最小問題を、総称して、

と教えています。2023早稲田理工の［Ⅴ］でも使っている通り、

線分と点の距離の最小
↓
垂線を下ろせるかどうかで場合分け

というように＜方針１＞「図形的考察」で解答を書かせて頂きましたが…

って思って他にあげてるとこの解答を見てみたら…皆さん＜方針２＞「関数の立式」で、\(\textrm{Q}\:(q\:,\:3q)\)（\(0≦q≦1\)）とおいて、２点間距離の公式から「文字定数入りの２次関数の最小」で解いてらっしゃいました。問題で \(\textrm{Q}\) って線分上の点がおかれてることからも、大学側が想定している解答はこっちかと思います(笑)

ま～答は一致してるんで、めぐろ塾は「図形的考察」でいかせて頂きますね。

問１は垂線下ろせるかが際どかったんで、問２の一般結果から、問２の後に解きました。

また、問３では \(a\) の範囲が計算しやすい問２の(Ⅰ)・(Ⅲ)から先に片付け、(Ⅱ)はその範囲以外とすることで計算を効率化しています。

ま～どうやっても計算は面倒な問題です。答が当たらなくても、場合分けに気づいていることをアピールし、部分点を拾えれば大丈夫でしょう。

解答

講評

大阪公立大の問題を１年セットで解くのは初めてでしたが…2022も軽く解いてみた感じ…

に思えます。バラエティーに富んだ、また非常に練られた良問ばかりで…

• 第３問が一番カンタンであることに気づけたか
• 第１問の問２の答を当てられたか

が勝負の分かれ目になったものと思われます。第１問は問２を間違えちゃうと、連動して問３もアウトになっちゃうので。解説中でも話した通り、第４問は部分点を拾えてれば大丈夫でしょう。問２はそんなにカンタンではありませんが、ストーリーが読めてれば計算ミスは防げる問題なので完答して欲しいところ。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！