「安田の定理」を徹底解説！

2024年6月30日

大学受験数学界のレジェンド「安田亨」先生が発見した「安田の定理」を…

めぐろ塾の安田

奇遇にも同じ苗字の私めが徹底解説させて頂きますm(_ _)m

「安田の定理」について

「安田の定理」とは、以下のようなものです。

安田の定理

分数関数 \(h(x)=\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}\) が \(x=\alpha\) で極値をとるとき、\(f'(\alpha)≠0\) ならば、その値は、

\[h(\alpha)=\displaystyle\frac{g'(\alpha)}{f'(\alpha)}\]

である。

微分すると多くの関数はカンタンになるので、極値をとる \(x\) の値が汚いときの極値計算を簡略化してくれる定理です。発見者の「安田亨」先生の名前に由来し、大学受験数学界では「安田の定理」と呼ばれています。

めぐろ塾の安田

僕じゃないですよ(笑)
「安田亨」＝「偉い安田先生」
「めぐろ塾の安田」＝「偉くない安田先生」

そんな「偉くない安田」が「偉い安田先生」をディスるようになってしまって申し訳ないんですが…

覚えておく必要は全くない！

詳しくは後述しますが、大学受験数学で恩恵が得られるケースはほとんどありません。

めぐろ塾の安田

偏差値60もないバカほど、こ～ゆ～マイナーテクニックを覚えて喜ぶんですけどね…

ここで言う偏差値とは「高３・高卒時の河合塾全統記述模試」のものです。この偏差値が一番信頼できるってことについては↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

覚え方

分母・分子を微分したものに置き換えて良いということから、君らにとって常識の「ロピタルの定理」↓と類似しています。

ロピタルの定理

\(\displaystyle\lim_{x\to a}\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}\) が \(\displaystyle\frac{0}{0}\) または \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) の不定形となるとき（\(a\) は \(\infty\) でも良い）、

\[\displaystyle\displaystyle\lim_{x\to a}\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x\to a}\displaystyle\frac{g'(x)}{f'(x)}\]

ただし、右辺の極限値が存在するときに限る。

これと併せて覚えれば良いでしょう。使用条件もこれと同様で…

記述式解答に「安田の定理」の使用痕跡を残しちゃダメ！

「ロピタルの定理」は証明が大学数学内容のため、検算テクニックとして君臨していることは、偏差値65を超えている君たちにとっては常識でしょう。教科書には記載されていない「安田の定理」の使い方も同様で、記述式解答に使用痕跡を残してはいけません。

証明

めぐろ塾の安田

一応「安田の定理」の証明も載せておきます↓

「安田の定理」の使い方

使えるケース

めぐろ塾の安田

覚えておく必要は全くない！

と言った通り…使えるケース（使ってメリットのあるケース）が非常に限定的です。

「安田の定理」が使えるケース

分数関数の微分＝０で、２次方程式の解の公式を使った
かつ、その極値計算が要求されている

分数関数の問題の経験が多い人ならば分かると思いますが…

分数関数の微分＝０ってキレイな値になることが多い
汚い場合は、「極値（最大・最小）をとる \(x\) の値を求めよ」って調整されることが多く、極値計算まで要求されることは少ない

ので、「安田の定理」を使ってメリットのあるケースはほとんどないです…

めぐろ塾の安田

知ってると「検算でちょっと役立つかな」ってくらい(笑)

でもそれだと「安田の定理」で記事を作ってる意味がないので…

検索がかけやすく、比較的最新の2020～2022で、「安田の定理」を使ってメリットのある問題を必死に探しました！

めぐろ塾の安田

「必死に」じゃないと見つからなかったです…
だから…繰り返すけど…覚えておく必要は全くない！

2020～2022で「安田の定理」を使ってメリットのある問題
2021学習院大	三角関数からの分数関数
2021日本女子大	三角関数からの分数関数
2021長崎大	三角関数からの分数関数
2021東京理科大	軌跡からの分数関数

2021ばっかりですね(笑)ダブル・トリプルチェックしたわけではないので、見落としの可能性が多分にあることはご容赦くださいm(_ _)m

最後の問題はそこそこメリットがある問題だったので…

使用例（2021東京理科大）

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出題学部と学科までは分かりませんでしたm(_ _)m
取りあえず20分くらいで解いてみてください↓

問題

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考え方

(1)はひたすらに内分点公式を使うだけ。これで \(\textrm{R}\:(x\:,\:y)\) を \(t\) の式で表せたら、\(t\) を消去して \(\ell_1\) の方程式が完成です。\(x\) が \(y\) の２次関数となるので、\(x\) 軸と \(y\) 軸との囲む面積は \(y\) 軸積分で求めましょう。

(2)の最初は逆関数に慣れてないとちょっとビックリしちゃうかもしれません。

\(y=f(x)\) の \(x=a\) における接線は、\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

の \(x\) と \(y\) の入れ替えを意識し、

\(x=g(y)\) の \(y=b\) における接線は、\(x=g'(b)(y-b)+g(b)\)

とします。この \(x\) 切片と \(y\) 切片を求めて三角形ＯＤＥの面積を \(b\) で表すと、

分数関数 \(f(b)\) となり、\(f'(b)=0\) となる \(b\) が解の公式により汚くなる

という「安田の定理」が使えるケースの登場です。

めぐろ塾の安田

解答では、
『「安田の定理」を使わない場合→使った場合』
の順で掲載しました！

共に次数下げを考えるのは変わりませんが、「安田の定理」を使うと、