2025東大【理系数学】解答速報

2025東大【理系数学】解答速報

2025東京大学の理系数学の解答速報をお届けします!

文系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

第1問

問題

第1問問題

考え方

(1)はメンドくさいけど内分点公式を使いまくるだけです

(2)は、(1)の結果から媒介変数表示の表すグラフの求積。x軸方向に単調なんで、y≧0を確認したら、解答のように図示をせずに求積してしまった方が良いでしょう、

(3)は、

曲線の長さ(媒介変数表示)

媒介変数表示 \left\{ \, \begin{aligned} & x=f(t) \\ & y=g(t)\end{aligned} \right. で表された曲線の \alpha≦t≦\beta における長さ l は、

l=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2}dt

を使うだけ。ルートの中の4次式に2乗を作って、ルートを外す処理も必要になりますが、問題文の「a の多項式の形で」って文章から気づけるでしょう。

全く楽な問題ではありませんが、今年のセットでこれを外すとキツくなっちゃいます…時間をかけてでも完答したい問題

解答

第1問解答

第2問

問題

第2問問題

考え方

本校受験者で(1)を間違える人はいないでしょう。解答では接線で証明しましたが、「(右辺)-(左辺)≧0」で微分+増減表で証明しても構いません。

問題は(2)…前半の問題なのにかなりムズいです…

はさみうちの原理を使うのは明らかでしょう。でもこの場合で常套の、区間からの不等式作成では、上からの評価も下からの評価も成功しません。僕は、

取りあえず(1)の利用を考えると、一応上からの評価式が作れる

積分計算でそこそこ式が複雑になって、極限計算に困る

微分係数の定義式が出るように作問してくれることを祈る

って感じで上からの評価から行いました。

2019の第5問とかでも微分係数の定義式からの計算が出題されていたので。数学は経験が一番大事です!これ見てる高2生とかでたくさん経験を積みたい方はご入塾↓の検討を(笑)

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上からの評価終わって…下からで3分ほど悩んだ結果…

logの中…相加平均じゃん…

って気づいて、下からの評価は相加相乗平均で成功。

上からの評価、下からの評価それぞれに鬼門がある問題です。どちらかの評価には成功して、部分点は拾いたいところ。

解答

第2問解答①
第2問解答②

第3問

問題

第3問問題

考え方

結構題意の長方形を作図するのに時間かかってしまいました…
バカなんですかね?(笑)

作図に成功したら、(1)はひたすらに三角比で面積を計算するだけです。

(1)の結果が \sin2\theta\cos2\theta同角1次式となるので、(2)では合成して最大・最小を求めるだけですが…

合成角が分からない かつ 合成角が a\:,\:b によって動く

sinの中身が \displaystyle\frac{\pi}{2} に届くか届かないかで場合分け

が必要になります。

全体的に計算は複雑ですが、思考的には平坦な問題です。今年のセットで言うと、細部の論証が甘くても答は当てたい問題

解答

第3問解答①
第3問解答②
第3問解答③

第4問

問題

第4問問題

考え方

平方数を m^2 とおくと、 n^2+n-a=m^2

ここに(1)で証明したい n≦a ⇔ n-a≦0 を作ることを考えると、 m^2-n^2≦0  ∴ m≦n

ってとこから、(1)が mn の大小比較…

ってことに気づいて解きました。後は a>0 からこれを言うだけですが、m^2<n^2+n<(n+1)^2 を作る部分とかは、ルートとガウス記号の融合問題とかに慣れてないと解きにくいかも…

そして(2)は…見た目…

これ…私めにはムリじゃね?

って思いましたが…

(ⅱ)⇒(ⅰ)はまだいけそう

これを素因数の「拾い上げ」で証明

(ⅰ)⇒(ⅱ)は考えにくいから、背理法で(ⅱ)を否定すると逆方向でいける

4a+1 が合成数として(ⅱ)⇒(ⅰ)の流れで行けばいい

って感じで何とか解けました…1時間くらいかけて(笑)

僕だったら時間内では(2)の(ⅱ)⇒(ⅰ)の証明まで終わらせて、(ⅰ)⇒(ⅱ)の証明はスルーしていたと思います。時間内で完答した人はめぐろ塾の安田越えです、おめでとうございますm(_ _)m

解答

第4問解答①
第4問解答②

第5問

問題

第5問問題

考え方

個人的にトラウマになった問題です(笑)

他予備校の解答速報に手書きで参加していたので、(1)は最初、背理法でこんな解答↓を書かせて頂きました…

第5問(1)クソ解答

ほんで(2)…

全然分かんない…

漸化式立式の誘導があり、こ~いった場合のお決まりは最初または最後に注目です。それを意識しても規則が複雑すぎて…1時間考えても…

全然分かんない…

ってことで時間も足りなかったので有り難く先輩の解答をカンニングさせて頂きましたが…

まだ良く分かんない…

会議の時に、1人の先生Aが、

(1)から左2個の状態考えて、4c_{n-1}。ほんで問題文に c_{n-2} も使えってあるから被りに気づきましたね~

って言ってて、この考え方には感銘を受けましたが…

まだ細部が良く分かんない…

ってことで、本日、解答速報に参加していた東大のドクターの子がやっていた「1から始まる列の個数を数列で設定する」って方法を使ったら…何とか理解して解答を書けました…それでも30分くらいかけて(笑)

試験当日、完璧に理解して解答を書けた受験生の皆さんを心から尊敬しますm(_ _)m

先生Aのような考え方で、取りあえずの答が書けたらチョー大成功な問題じゃないでしょうか?

解答

第5問解答①
第5問解答②

第6問

問題

第6問問題

考え方

(1)は w=\displaystyle\frac{1}{z} の軌跡を考えるだけ。

(2)は、(1) の結果から \alpha=1+ai\:,\:\beta=1+bi とおけるので、対称式処理から実数 a\:,\:b の存在条件に帰着して終わり。

ここまでの獲得はマストですが…(3)は結構キツかったです…

\gamma=x+yi とおくと、\textrm{Re}\left(\displaystyle\frac{1}{\gamma}\right)=\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}=k という2変数関数の、(x\:,\:y) が(2)の領域に属さない場合の最大・最小を求めることになります。問題文の「属さない」って表現がわざとらしかったので…

\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}=k円を表す

これが完全に(2)の領域に属する場合を求めて…

その否定をとる

って形でやりましたが、誰もこの方法でやってませんでしたね(笑)
凄い誘導に乗ったつもりだったのに、計算量はかなり多くなってしまいました…

僕も2回計算ミスしたため、この解答を書くために使った時間は1時間くらい…

(2)まで当たってれば及第点な問題でしょう。

解答

第6問解答①
第6問解答②
第6問解答③

講評

昨年2024の解答速報↓

も行いましたが、これと比べると…

解答方式試験時間大問数難易度
記述式150分6問やや難化

です。

  • 明らかな点取り問題が第1問だけ、なのにこれも計算量多い
  • 第5問(2)がクソムズい(これは≒去年の第6問(2)だけど)
  • 他の問題も、どこかしら鬼門がある

ので。

第1問と第3問の答が当てられていたら、かなり安心

なテストじゃないでしょうか?これに第2問(1)+第6問(1)・(2)の獲得で半分くらいになり、理Ⅲ以外の合格点には届くと思います。

理Ⅲだと…これにさらに大問1つ分くらいの上乗せが必要になっちゃう気が…恐ろしい…

ホントこんなテストを受けさせられた受験生の皆さん、お疲れ様でしたm(_ _)m

メンタルやられてる方も多いと思いますが、ご安心を。第4・6問で1時間ずつ使うわ、第5問(2)が1時間使っても解けないわのプロ講師=めぐろ塾の安田の方がメンタルやられておりますので…

下には下がいるぞっ!!

執筆時3/4は合格発表の前です。後期を受ける人はその準備をしながら、これで今年の受験終わりって人はちょっと遊びながら、結果を気楽に待ちましょう。

君に最高の結果が訪れますようにm(_ _)m

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ!

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!

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この記事を書いた人

早稲田大学理工学部機械工学科卒。

「武蔵小山駅」7分、「不動前駅」9分、攻玉社・小山台高校から徒歩圏内、日本全国どこからでも受講可能!

な、英数専門「めぐろ塾」で数学を教えています。

チューター等は介さず、高1~高卒までの全学年の数学を、責任を持って一人で指導しています。