2023東工大【数学】解答速報
2023東京工業大学の数学の解答速報をお届けします！！！
試験日に家族サービスで旅行中だったんで、伊東園ホテルズにパソコン持ち込んで打ち込みました(笑)
伊東園ホテルズで数学解いた初めての人間ってオレじゃない？(笑)
ちまたでも「今年の東工大の数学は難化だ～」って騒がれてますが…
冷静に思考すれば、いつもと大して変わらない
ただ、良くもま～ここまで「見た目をムズそうに作問してきたな～」とは思います。
１
問題
考え方
問題文が１行ってゆーラスボス感(笑)
に惑わされてはいけません。
- 積分計算は不可能
- 「整数部分を求めよ」＝「不等式を作れ」＝「評価せよ」ってことだから、被積分関数の不等式を作ってインテグラルつけちゃうのが最有力
- x が十分に大きいとき、x は e^x に比べてカスみたいなもん
- グラフから、x≧0 で x<e^x
を意識すれば、 0≦x<e^x ⇔ e^x≦x+e^x<2e^x ⇔ \displaystyle\frac{1}{e^x}<\displaystyle\frac{2}{x+e^x}≦\displaystyle\frac{2}{e^x}
これを定積分することで、 1-\displaystyle\frac{1}{e^{2023}}<\displaystyle\int_{0}^{2023}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx≦2-\displaystyle\frac{2}{e^{2023}}
e^{2023} がとてつもなく大きいことを意識すれば、整数部分が１であることはすぐに分かります。
だからこの問題の本番は、１より大きいことの証明。
これには色んな方法がありますね…面積使ったりとかもできるし…
伊東園ホテルズに向かう車を運転しながら、最もキレイな解法を探してみましたが…
「これだっ！！」ってゆーべストなのは見つからなかった(笑)
解答速報によって、証明法は千差万別になると思います。
多様な解答を採点する手間を買ってでた東工大に拍手！(笑)
因みに僕はソフトで打ち込んでると作図がダルイんで、
1-\displaystyle\frac{1}{e^{2023}} なんてほぼ１みたいなもんだから、x<e^x の評価の精度をちょっとだけ上げとこ～、ってことで…
ことから x+1≦e^x ってのを証明して使いました。
このグラフの状態も大学受験では大事だよ！
\displaystyle\lim_{x\to0}\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=1 って公式とか覚えやすくなる。
でもこの方法も… 1.8>\sqrt{3} とかを強引に作って使ってるし…
我ながら個人的に好みじゃない(笑)
解答
２
問題
考え方
問題文の短さによるラスボス感、続く(笑)
- 未知整数確定で素因数の拾い上げを行うのは明らかなのに、因数分解が終了しちゃってる（フツーは因数分解するとこがメイン）
- 右の素因数分解で…素因数何個でてくんだよ…
- 東工大だから何かやらかしてくんじゃねーか？
ってことで、数学できる人ほどイヤに見える問題ですが(笑)
x^3-x=(x-1)x(x+1) も y^3-y=(y-1)y(y+1) も３連続整数の積だから、３！の倍数。
これに気づくのが全ての問題です。これにさえ気づければ…
後はしらみつぶすだけ。
…メンドイけど…(笑)
- y の範囲をある程度絞って、しらみつぶす可能性を減らす
- y の偶奇別に考えることで、可能性をキレイに整理する
とゆー、何ともカッコいい論証（見落としあったらゴメン）を伊東園ホテルズで打ち込ませて頂きましたが…
３時間ってゆー試験時間内でここまでの解答を作る自信はない、我ながら(笑)
論証が甘くても、答を当てることを重視して解いた方がいいでしょう。
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解答
３
問題
考え方
今年の問題の中では最も簡単で計算量も少ない問題です！
でも確率と複素数が絡んでるからね。
「ムズそう」って思っちゃう気持ちは分かる(笑)
僕も最初は「ムズイのかな～」って思いましたが、
「３枚から２枚を順に選ぶ」だから、複素数の種類は {}_3\textrm{P}_2＝６通りしかない
ってことで簡単ってことに気づきました。
(1)は n 回の試行の過程を具体的に考える。
(2)は確率漸化式。
とゆー、n 回試行で王道の２解法を順に使わせる構成は、個人的に好印象でした。
解答
４
問題
考え方
問題の見た目がこっちのメンタル折ってくるよね～、回転が２回あるとこが特に。最初は僕も「私めにはムリそ～」って思ったけど…
x 軸を中心軸とする半径１の円柱と、y 軸を中心軸とする半径１の円柱の共通部分は、それぞれの z=t での断面を考えて重ね合わせると正方形になり、体積は \displaystyle\frac{16}{3}
って問題はクソ有名問題なので、やったことあるよね？
実はこの類問。僕もそれに気づくまでに時間かかったけど(笑)
この経験があれば、断面の場合分けも３つしかないので、東工大としては簡単な問題レベルなんですが…
最後の積分計算が地獄(笑)解答のように、
- かなり定積分の結合が可能
- 円の面積で時短できる定積分計算が２つある
ってとこを加味しても地獄(笑)
僕３回目、先輩２回目の結果がやっと一致しました。
他に解答だしてる人とも一致してるから多分大丈夫かと
時間内だと、体積の定積分での立式まで終了させ、円の面積での定積分計算を使用する姿勢を見せる、で部分点狙いが現実的に思えます。
解答
すまん、円を作図するのがダルかった(笑)
これ↓でゆるして～
５
問題
考え方
最後の問題で「空間」ってラスボス感に惑わされないことが大事(笑)
実はこの問題、今年の問題の中で「思考量」って観点から言えば一番簡単です。
(1)
空間の図形って、図形上の点 \textrm{X}\:(x\:,\:y\:,\:z) の方程式のことだから、「空間における点と直線の距離」って超有名内容を２回繰り返して距離を x\:,\:y\:,\:z で表す。後は「＝」でつないで整理するだけ。
(2)
(1)からのノリで、「空間における点と直線の距離」って超有名内容を後２回やるだけ。
なんだけど…
計算量はヤバイ(笑)
解答の(Ⅰ)～(Ⅶ)の場合分け前までこなして、部分点を狙うのが現実的です。
※追記
他のとこの解答とか見ると、場合分け前までは正射影ベクトルで時短できるみたいですね。ま～でも図とかは考えず、計算でゴリ押しちゃった方がコスパはいいかと。ホントに計算ヤバイのは場合分けのとこなんで(笑)
解答
↑をＰＸ＝ＲＸでやろうとすると２次式になって、この後の連立方程式解くのがキツイってゆー悪質なひっかけが(笑)
講評
東工大を一年セットで10年分以上解いてる身からすると、難易度的にいつもと大差はないんだけど…
| 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 記述式 | 180分 | ５問 | やや難化 |
じゃないですかね。理由は…
- 問題の見た目のラスボス感が強すぎる
- ラスボス感が一番強い問題（問題文１行）を最初に設置しやがった
- ３と５の計算量がやばすぎる
- 全体的に場合分けが多すぎる
繰り返すけど、試験日旅行中だったんだよ(笑)
伊東園ホテルズで、ペンを使わず、解答をソフトで打ち込みながら解いてた。
冷静に俯瞰して、ペンで180分で解いた場合の自分のベストパフォーマンスを考えると、
１：完答60点 ＋ ２：論証不備50点 ＋ ３：完答60点 ＋ ４：体積立式と円の面積の使用を書いた部分点狙いで40点 ＋ ５：解答の(Ⅰ)～(Ⅶ)の場合分け前までこなした部分点狙いで40点 ＝ 約250点／300点
だけど、「180分でも時間足りね～」ってなると思うな(笑)
ホントに調子悪かったら、こっから余裕で100点近く下がると思う(笑)
答を全て当ててる大問が２問、後は部分点を拾う記述ができてれば十分戦えるでしょう。
早慶理工の合格発表も終わったね。
私立で後期設定している大学、国立後期を受ける人は頑張って！
それ以外の受験生の皆、本当にお疲れ様！！
君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！
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