2023同志社大全学部【理系数学】解説・解答・講評

2023同志社大学の全学部日程の理系数学の解説・解答・講評をお届けします！

って今年同志社大理工に全学部日程でも個別日程でも受かってる生徒が言ってたんで、これを機に解いてみましたが…

［Ⅰ］

問題

考え方

(1)

「数直線上を原点から、コインの表が出たら＋２、裏が出たら＋１進むとき、$n$ に到達する確率」ってチョー有名なんで、解いたことある人が多いでしょう。この類問です。

最初or最後の１回に注目して、三項間漸化式を立式

します。因みに僕の解答のように、$p_1$ と $p_2$ を求めて「ア」を埋めた後は、三項間漸化式を解いて「ウ」と「エ」を埋め、$p_n$ の結果に $n=4$ を代入して「イ」を解答するのが良いでしょう。

最後の「オ」は、$p_4$ の計算を誘導として捉え、「$n-1$ 点とって、２点とって、４点とる」ってするだけですが…

典型問題でもないし、値もそこそこ複雑になるので、「オ」は外しちゃってもいいでしょう。「エ」までは完答したい。

(2)

最初は３次方程式を解くだけですが…

その後が、複素数平面上での原点を頂点に含まない三角形の形状把握なので、「∠Ａの大きさ」が最初に要求されていることを意識し、点Ａを回転中心とした、

$\gamma-\alpha=$（極形式）$(\beta-\alpha)$
または
$\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=$（極形式）

を与式から作らないといけません。類問の経験がないとキツイでしょう。

分母の実数化とかでそこそこ計算面倒ですが、正しく極形式表示を終了すると∠Ａ＝$\displaystyle\frac{1}{2}\pi$ と出るわけですが…

この問題が最悪なのはこっから！

$\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$ を知らないと最後まで解けない！

構成になってます…

試験の緊張状態、しかも小問集合で急いでる受験生にこれを要求するのは酷でしょ…

ってことで、解答ではこれが必須な「ク」は最後に回し、直角三角形の知識で他の問題を先に片付けています。

解答

［Ⅱ］

問題

考え方

(1)は直線を立式するだけ。

(2)は面積公式 $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を使うだけ。

(3)は回転軸をまたがない領域の回転体の体積なので、断面がドーナッツ型になって即 $V$ の立式終了。

って感じで、図示もいらないサービス問題と思いきや…

って問題(笑)

一応解答では $\alpha\:,\:\beta$ の交代式や対称式処理で極力効率的に計算しましたが…

それでも３回くらいミスりました(笑)

(3)の $V$ の立式と積分計算が終了したら、計算指針だけ書いて即飛ばすのが正解です。他の大問もボリュームあるので。

解答

［Ⅲ］

問題

考え方

(1)は直線ＡＰ上の点Ｍを $t$ で媒介変数表示することが要求されているので、これが終わったら、

球面 $S$ の方程式に代入
↓
$t$ の２次方程式として、判別式 $D=0$ で球と接する

と考えます。

(1)さえクリアすれば、(2)は、

(3)の格子点は、

(4)の意味不明問題も、

って感じでノリで解答できます。解答では(3)はキレイに整数論証しておきましたが、答当たってれば大丈夫でしょう。

計算量的に言えば今年の大問では一番完答しやすい問題なんですが…

多くの人が既視感を覚えない問題、かつ文章量がメンタルを折ってくるので(笑)

受験者の出来は良くないでしょう。

解答

［Ⅳ］

問題

考え方

全体的に「微分計算」と「解配置問題」なので、

解の個数を $t$ 軸との共有点の個数と考え、グラフを考える
↓
極値の正負の判断が困難なので、周辺の有名角のとこの正負で代用する

って典型内容。計算量や記述量的に(4)までできてれば大成功だと思いますが…

まず(2)。この系統の問題に慣れてる人はすぐに２階微分 $g^{\prime\prime}(t)$ を計算したくなるところですが、そーすると式が複雑化するので、$g^\prime(t)$ を因数分解して $\tan t$ の作成を考えなければならないところ。

次に(4)。$f_n(x)$ を２階微分する際、そのまま微分すると式が複雑になりすぎるので、定数 $\displaystyle\frac{\pi}{(2n+1)^2}=k$ とおくところ。

そーすると $g'(t)$ の正負の判断の難易度が上がるので、解答では $t$ 軸との共有点の個数でやっています。ま～それでも $-\cos t$ がかかるのでかなり混乱しますが(笑)

試験時間的に考えて、(5)で解答のような論証を書けることは期待しない方が良いでしょう。もし(5)までたどり着いたら、「符号変化」という言葉は必ず書いて部分点を狙ってください。「極値」や「変曲点」の記述式の問題では必ず採点対象とされる部分です。

解答

講評

ですね、大手さんもそーしてますし。試験時間に対する計算量がヤバすぎます。

• ［Ⅰ］を３ミスくらいで乗り切る
• ［Ⅱ］の(3)の計算は潔く捨てる
• ［Ⅲ］をノリで最後まで解く
• ［Ⅳ］は(3)～(4)くらいまで粘る

ってできれば７割超えも可能ではありますが、例えば［Ⅱ］(3)の計算で下手に粘って試験時間なくなっちゃったり、［Ⅲ］の(1)で計算ミスしちゃったらあっという間に５割きっちゃうでしょう。

既に同志社大が2023受験結果をホームページで発表していますが、

合格者平均が５割を切ってる学部・学科がほとんど

でした。実際僕の生徒も全学部日程で数学４割＝80点／200点で受かってますし↓

2024受験する人は、2023の過去問演習の結果で凹まないように！(笑)

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！