2025東京科学大【理工学系数学】（旧・東工大）解答速報
2025東京科学大学の理工学系（旧・東京工業大学）の数学の解答速報をお届けします！
めぐろ塾の安田人員不足のため、一人で孤独にやっております(笑)
ミスを見つけた方は、X（Twitter）のDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m
既にご指摘頂いた方に、厚く御礼申し上げますm(_ _)m
１
問題
考え方
(1)は部分積分を使うだけ。絶対に落とせない。
めぐろ塾の安田(2)は逆関数と微分・積分。今年の慶應理工１(3)でも出題されていたので、併願していた人が有利だとは思いますが…
(2)は置換積分的に考えればカンタン…(3)はムズいっす…
恐らく解答のように、
↑で \(R'(x)\) のインテグラルを解除
↓
\(y=P(x)\) の逆関数が \(y=Q(x)\) だから、\(y=P(x)\) とすると、\(x=Q(y)\)
↓
\(\displaystyle\frac{dx}{dy}=Q'(y)\) で \(Q'(P(x))\) を具体的に表す
↓
\(R'(x)\) が具体的に表せるので、不定積分で \(R(x)\) を求める
↓
積分定数 \(C\) は \(R(0)=0\) より決定
が正解だとは思いますが…
めぐろ塾の安田最初に置換積分方向に考えて、文字たくさん置いて混乱してタイムロスしました…orz
因みに全体的に細かい定積分計算には全く自信がないので、ミスを見つけたらご指摘お願いしますm(_ _)m
(2)まではしっかり当てたい。(3)は \(R'(x)\) の計算過程とかは書いて、部分点は拾いましょう。
解答
２
問題
考え方
(1)は「２直線の距離の最小」という、2024共通テストⅡＢでも出題されてるくらいの頻出内容なので、絶対に外せません！
めぐろ塾の安田しかし…(2)以降で(1)の誘導の使い方が分かりませんでした(笑)
スカラー３重積により、空間座標の４点を頂点とする四面体の体積は公式化できます。
流石に高校内容じゃないので、使いたいけどこれの使用は控え…
アタマを悩ますこと20分くらい…
直線ＡＢは \(z=1\) 上、直線ＣＤは \(x=1\) 上
↓
直線ＡＢと \(x=1\) の交点（解答のＥ）がすぐ求まる
ってことから、\(x=1\) 上の三角形を底面として、高さをＡとＢのｚ座標としてやってしまいました…
因みにＡの \(x\) 座標が１より大きいときは四面体引く四面体、１より小さいときは四面体足す四面体の体積になりますが、結果は変わりません。
めぐろ塾の安田僕に計算ミスがなければ…
(3)は、
三角関数の対称式
↓
\(\sin t+\cos t=x\) とおいて、\(\sin x\cos x=\displaystyle\frac{x^2-1}{2}\) も使って整式に！
という、典型処理で終了です。
解答
３
問題
考え方
めぐろ塾の安田今年の中ではサービス問題じゃないでしょうか？って言って(4)の計算ミスってましたが(笑)ご指摘頂いた方に厚く御礼申し上げますm(_ _)m
解答のように、「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針２＞「確率漸化式」で(2)を考えてしまい、その結果から(1)を解くのが良いかと思います。
確率漸化式立式の際は、\(Q_n\) で立式を考えない
↓
ｎ点になった時点での確率 \(P_n\) の漸化式を立式
と考えるのがベストです。
めぐろ塾の安田(3)はめぐろ塾↓が小テストでやらせてる昔の杏林の問題と一緒…
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巷で言う、\(S_n-rS_n\) 法で計算です。
(4)はこれまでの結果を利用するだけですが、シグマのズレを補正するのがちょっとイヤでした。
ちょろっとした計算ミスはオッケーですが、指針は確実に当て、ほぼほぼ完答を目指したい問題。
解答
４
問題
考え方
めぐろ塾の安田数列得意だぜぇええええええええええええええええー！！！
って喜んだ僕のような人に…
微笑んでくれない問題(笑)フィボナッチ数列って気づいてても何の役にも立たないです…
(1)は、等比数列あたりになるに決まってる！って思えば解けますが…解答の
\(a_{n+1}^2\) の片方だけをずらす
ってとこに気づくまで、かなり時間を使いました…
かつ(2)も、加法定理で \(b_n\) を消去した後の式整理の指針が立てにくい…
めぐろ塾の安田結局(1)と漸化式で \(a_{2m+2}\) を消そうって意識で上手くいきました。
(2)さえクリアすれば、(3)の指針に困ることはないと思いますが…(3)もシグマが０から始まっているので、\(b_1\) だけ別計算ってとこはハマりかけました、優秀な生徒の書き込みでミスに気づくとゆ～恥ずかしいプロ講師＝「めぐろ塾の安田」です(笑)
これ解けた人はかなりアドバンテージ得られると思います。
解答
５
問題
考え方
(1)間違えたらキツいです。奇関数ってことに気づいて、冷静に図示しましょう。
(2)は見た目意味不明に思えますが…
下２式から、\(f(x)=f(y)=f(z)\) に気づければ…
↓
異なる３解（交点）を持つときの、一番小さい解（交点）の範囲
という常套処理です。
めぐろ塾の安田見た目ムズそうに見えちゃうんですが…できればこの問題はほぼ完答したい…
解答
講評
去年2024の解答速報↓
も行いましたが、それと比べると…
| 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 記述式 | 180分 | ５問 | やや易化 |
だと思います。去年の４(3)レベルの難問はなく、全体的に計算量も減ったので。個人的には複素数平面が出題されなかったことは残念でしたが、来年以降は恐らく出題されるでしょう。
めぐろ塾の安田ま～「やや易化」って言っても流石は東工大…
って言えなくなっちゃった…東京科学大理工学系
アタマを悩ませる問題ばっかですね(笑)
１(2)まで ＋ ２(1) ＋ ３ ＋ ５(1) の獲得はマスト！
に思えます。多分これで 120～140点／300点 くらいなので、ここに大問１つ分くらい上積みできれば、合格最低点は間違いないでしょう！
めぐろ塾の安田ま～でも終わったテストのことは気にするな！
ってか、これ見てるのが受験生の場合は今すぐこの記事閉じて寝なさい(笑)
執筆時2/25は国立１日目、明日の理科が残ってるぞっ！！
一橋の解答速報を書きながら、頑張る君を、めぐろ塾から応援しています！大丈夫、君は一人じゃない！！
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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！
