2022早稲田人科【数学選抜】解説・解答・講評
2022早稲田大学人間科学部の数学選抜の数学の解説・解答・講評をお届けします！
めぐろ塾の安田人員不足のため、一人で孤独にやっております(笑)
確認役がいない、かつ東進過去問データベースにも解答が掲載されていないため、最終的な値には全く自信がありません(笑)ミスを見つけた方は、TwitterのDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m
【問１】（必須問題）
問題
考え方
(1)は共テでも出るような問題です、完答はマスト。
\(x(x-3)\) と \((x-1)(x-2)\) を展開
↓
\(x^2-3x=t\) とおいて、２次方程式に
する有名処理を実行するだけ。
めぐろ塾の安田(2)は計算ミス等もあり、僕もちょっと手間取りました。
正弦定理を使って、与式を辺のみの式に書き換える部分で迷う人はいないでしょう。この後、
立式できる式の形から、\(B\) に注目した余弦定理の利用に気づく
部分の難易度が高く感じます。動機は、
- 立式できる式が \(a\) と \(c\) の対称式
- \(a^2\) と \(c^2\) が消去できる
- \(ac\) で割れる
なんですが、辺のみの式にした後、また角度を導入するのにはちょっと勇気が必要。これで \(B=60^\circ\) さえ把握できれば、「最大となるのは正三角形のとき」ってしちゃってもいいような気がしました。
めぐろ塾の安田一応記述式なんで、解答では正弦定理で \(b\) を求め、円関連の最大・最小は中心を通るときで図形的考察って形で論証していますが。
(3)は、「放物線と２接線が囲む面積」という頻出内容ですが、接点の \(x\) 座標がキレイに求まらないので、計算は面倒です。こういった場合で、
接点を文字でおく → 解と係数の関係を利用
というのは常識としても、効率的に計算するためには、一度 \(a\) を消去しないといけないので…
あまりに頻出内容なんで、めぐろ塾↓では…
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「放物線と２接線が囲む面積」では、
- ２接線の交点の \(x\) 座標は、２接点の \(x\) 座標の平均
- 結果的に、２接点を通る直線と放物線の囲む面積（１／６公式で求められる面積）の１／２倍
ってとこまで暗記させるんですが、これを知ってないと途中計算で詰んでしまいそうな気がします。
めぐろ塾の安田ま～でも記述式なんで、完答できなくても解と係数の関係を利用するところまでの部分点は拾ってください。
また、解答では最初に直線 \(l\) 上の全ての点から放物線 \(C\) に接線が引けること（\(l\) 上の全ての点は \(C\) の極）であることを判別式から断りましたが、この部分は省いても減点されないでしょう。
解答
【問２】（必須問題）
問題
考え方
めぐろ塾の安田個人的には今年のセットの中で見た目一番イヤに感じた問題でした…なので解答を打つ（解く）のは一番後回しに(笑)
フツーに考えて、
絶対値の中身の正負で場合分けして、\(y=||x^2-x|-x|-x\) のグラフを描く
↓
\(x\) 軸との求積
とするだけの問題なんですが…
めぐろ塾の安田絶対値の中に絶対値入ってるから場合分け多くて混乱しそ～…
ってことで(笑)全体に絶対値が付いてるわけではない（外に関数がある）ので、\(x\) 軸より下を折り返す的なテクニックも使えません。
他の問題全て打ち終わっても場合分けする気が起きなかったので(笑)解答では、
\(x\) 軸との共有点を求める＝方程式にしちゃって範囲を気にせず解く
↓
考察する \(x\) の範囲を２つに絞る
↓
各場合で中の絶対値から外して混乱を防ぐ
としましたが、これでも片方の場合分けでさらに場合分けが発生してしまいました。
ま～大問１つに30分使える試験なので、最初から愚直に場合分けしたとしても、完答近くまでいって欲しい問題ではあります。因みに、計３つの定積分計算は、「０になる因数を作る」という常套テクニックを使えるタイプではありますが、定数項がない２次の積分計算なので、解答ではこのテクニックは使っていません。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m
解答
【問３】（必須問題）
問題
考え方
(1)は、残りの４つの数字で「完全順列」＝「モンモール数」を作るだけ。
めぐろ塾の安田興味のある人はググってみてください(笑)
2022の共通テストⅠＡ第４問でも話題になっています。
公式で９通りと計算することもできるんですが、解答では無難に樹形図で数え上げています。記述式なので。
(2)は判別式＜０ってするだけのサービス問題。真数条件や、ルートの中≧０を失念しないように注意しましょう。
(3)も見た目ムズく見えますが、サービス問題です。Ｑの座標を整数 \(a\:,\:b\) でおくと、「２変数１次不定方程式」の整数解を求める典型問題になってくれます。因みに、多くの教科書ではユークリッド互除法で61と37の最大公約数を１と求める過程を遡る解答を掲載するんですが、
小さい方の係数37でくくって、置き換え
した方が楽なので、解答ではこちらを打ち込んでいます。知らなかった人はこれを機に覚えておくと良いでしょう。また、「\(\left|\overrightarrow{\textrm{OQ}}\right|\) が最小」と言われているので、解答ではこれを \(k\) の２次式で表して増減を断りましたが、この部分を省いても減点はされないと思います。
解答
【問４】（選択問題）
問題
考え方
文系生徒用の選択問題です。数Ⅲ範囲の知識がいらない選択問題となっています。
めぐろ塾の安田文系生徒最後の問題にして、凄いカンタン！
全体的に↓を使うだけです。
２変数２次不定方程式の有名因数分解
\[\begin{equation}\begin{split}&axy+bx+cy=d\\\Leftrightarrow\:\:&xy+\displaystyle\frac{b}{a}x+\displaystyle\frac{c}{a}y=\displaystyle\frac{d}{a}\\\Leftrightarrow\:\:&\left(x+\displaystyle\frac{c}{a}\right)\left(y+\displaystyle\frac{b}{a}\right)=\displaystyle\frac{d}{a}+\displaystyle\frac{bc}{a^2}\\\Leftrightarrow\:\:&(ax+c)(ay+b)=ad+bc\end{split}\end{equation}\]
因数分解できたら、整数範囲の常套解法である素因数の「拾い上げ」を実行します。(2)で片方が奇数であることに気づけたら可能性減らせるとか、(3)で \(ma-1\) と \(m\) が互いに素であることに気づかないといけないみたいな多少の鬼門はありますが、ほぼ完答はマストな問題でしょう。
解答
【問５】（選択問題）
問題
考え方
理系専用範囲の数Ⅲからの出題です。
めぐろ塾の安田これは結構ムズかったです。
理系生徒でも【問４】を選択した方が良い気がします…
(1)で置換積分には気づけるでしょう。ただ、これで出てくる…
\(S_n=\displaystyle\int_{n}^{n+1}f(x)\sin\pi x dx\) っぽい形
↓
\(S_n\) って等比数列になるんじゃね？
って疑えないとお話しにならない問題です。過去に京大や東工大で出題されている、\(\displaystyle\int_{0}^{n\pi}f(x)|\sin x|dx\) の計算ってゆ～有名問題の経験がかなりないと厳しいと思います。等比数列であることを示すために、\(S_{n+1}\) から置換積分で \(S_n\) を作る部分の難易度も高い。
(2)さえクリアしてしまえば、(3)は無限等比級数の和の公式を使うだけですが…
めぐろ塾の安田繰り返します。【問４】の方が全然楽なので、理系生徒でも【問４】を選択した方が良いです。
解答
講評
大学側の公表期間が過ぎてしまっているため、2021の問題は見れてません(笑)先に解いた↓
と比較すると…
| 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 記述式 | 120分 | ５問 （【問４・５】は、どちらかを選択して解答。文系は【問４】を選択するしかない） | 変化なし |
です。
解説中でも話してきた通り、選択問題の難易度が、
文系生徒用の選択問題【問４】＜＜理系生徒用の選択問題【問５】
となっていたため、選択の余地のある理系生徒が不利な構成はいじわるに感じてしまいました。ま～でも公表されている合格最低点は６割程度です。早稲田理工で安定的に６割を取れる理系生徒であれば、【問５】を選択したとしても６割はクリアできるでしょう。
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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！